問題文は、目の出方に偏りがあるサイコロについて、確率と期待値を計算する問題です。 (1)では、このサイコロを一度だけ振ったときの目の数をXとし、Xの確率分布と期待値$E(X)$を求めます。 (2)では、このサイコロを振る回数によって値が決まる変数をYとし、Yの確率分布と期待値$E(Y)$を求めます。

1. 問題の内容

問題文は、目の出方に偏りがあるサイコロについて、確率と期待値を計算する問題です。

(1)では、このサイコロを一度だけ振ったときの目の数をXとし、Xの確率分布と期待値$E(X)$を求めます。

(2)では、このサイコロを振る回数によって値が決まる変数をYとし、Yの確率分布と期待値$E(Y)$を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、サイコロの目の出方を整理します。

- 1の目が出る確率は、3/6 = 1/2

- 2の目が出る確率は、2/6 = 1/3

- 3の目が出る確率は、1/6

これより、

$P(X=1) = \frac{1}{2} = \frac{3}{6}$

$P(X=2) = \frac{1}{3} = \frac{2}{6}$

$P(X=3) = \frac{1}{6}$

Xの期待値$E(X)$は、各値とその確率の積の和で求められます。

$E(X) = 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3)$

$E(X) = 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{3} + 3 \times \frac{1}{6}$

$E(X) = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$

(2)

Yの確率分布を求めます。

- Y=1となるのは、最初に1が出て、2回目のサイコロで1が出たときです。確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

- Y=2となるのは、最初に2が出たときです。確率は $\frac{1}{3}$

- Y=3となるのは、最初に3が出たときです。確率は $\frac{1}{6}$

これより、

$P(Y=1) = \frac{1}{2}$（最初のサイコロで1が出た場合、Y=1）

$P(Y=2) = \frac{1}{3}$（最初のサイコロで2が出た場合、Y=2）

$P(Y=3) = \frac{1}{6}$（最初のサイコロで3が出た場合、Y=3）

したがって、

$P(Y=1)=\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$

$P(Y=2)=\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$

$P(Y=3)=\frac{1}{6}=\frac{2}{12}$

$P(Y=1) = \frac{3}{6}$の間違いなので $P(Y=1) = \frac{1}{4}$

$P(Y=2) = \frac{1}{3}$

$P(Y=3) = \frac{1}{6}$

Yの期待値$E(Y)$は、各値とその確率の積の和で求められます。

$E(Y) = 1 \times P(Y=1) + 2 \times P(Y=2) + 3 \times P(Y=3)$

$E(Y) = 1 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{3} + 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} + \frac{6}{12} = \frac{17}{12}$

(1)の結果より

$P(X=1) = \frac{1}{2}$

$P(X=2) = \frac{1}{3}$

$P(X=3) = \frac{1}{6}$

$E(X) = \frac{5}{3}$

(2)の結果より

$P(Y=1) = \frac{1}{4}$

$P(Y=2) = \frac{1}{3}$

$P(Y=3) = \frac{1}{6}$

$E(Y) = \frac{17}{12}$

(1)

P(X=1) = 1/2

P(X=2) = 1/3

P(X=3) = 1/6

E(X) = 5/3

(2)

P(Y=1) = 1/4

P(Y=2) = 1/3

P(Y=3) = 1/6

E(Y) = 17/12

問題文の空欄を埋めます。

(1) P(X=1) = 1/2, P(X=2) = 1/3, P(X=3) = 1/6

E(X) = 5/3

(2) P(Y=1) = 1/4, P(Y=2) = 1/3, P(Y=3) = 1/6

E(Y) = 17/12

3. 最終的な答え

(1)

P(X=1) = 1/2

P(X=2) = 1/3

P(X=3) = 1/6

E(X) = 5/3

(2)

P(Y=1) = 1/4

P(Y=2) = 1/3

P(Y=3) = 1/6

E(Y) = 17/12