0000から9999までの4桁の番号について、以下の条件を満たす番号の個数を求めます。 (1) 同じ数字を2個ずつ含むもの（例：0101, 0033） (2) 異なる数字が左から小さい順に並んでいるもの（例：1248）

1. 問題の内容

0000から9999までの4桁の番号について、以下の条件を満たす番号の個数を求めます。

(1) 同じ数字を2個ずつ含むもの（例：0101, 0033）

(2) 異なる数字が左から小さい順に並んでいるもの（例：1248）

2. 解き方の手順

(1) 同じ数字を2個ずつ含む場合：

まず、使用する2種類の数字を選びます。これは0から9までの10個の数字から2個選ぶ組み合わせなので、$\binom{10}{2}$通りあります。

選んだ2つの数字をa, bとすると、aabbのような並べ方を考えます。

4桁の数字の並べ方は、aabb, abab, abba, baab, baba, bbaaの6通りあります。

したがって、同じ数字を2個ずつ含むものの個数は、

$\binom{10}{2} \times 6 = \frac{10 \times 9}{2} \times 6 = 45 \times 6 = 270$

ただし、0000は含みません。よって、答えは270個です。

(2) 異なる数字が左から小さい順に並んでいる場合：

0から9までの10個の数字から、異なる4つの数字を選びます。これは$\binom{10}{4}$通りです。

4つの数字を選んだとき、小さい順に並べる方法は一通りしかありません。

例えば、1, 2, 4, 8を選んだら、1248という並べ方しかありません。

したがって、異なる数字が左から小さい順に並んでいるものの個数は、

$\binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

3. 最終的な答え

(1) 270個

(2) 210個