ある母集団の確率変数 $X$ の母標準偏差は7であり、母平均 $m$ は不明である。大きさ196の標本を無作為に抽出したところ、標本平均は4.25であった。このとき、標本平均の標準偏差を求め、母平均 $m$ に対する信頼度95%の信頼区間を求める。

1. 問題の内容

ある母集団の確率変数 $X$ の母標準偏差は7であり、母平均 $m$ は不明である。大きさ196の標本を無作為に抽出したところ、標本平均は4.25であった。このとき、標本平均の標準偏差を求め、母平均 $m$ に対する信頼度95%の信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

まず、標本平均の標準偏差を計算する。母集団の標準偏差 $\sigma$ が7、標本サイズ $n$ が196なので、標本平均の標準偏差 $\sigma_{\bar{x}}$ は、

$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{7}{\sqrt{196}} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

したがって、選択肢1の答えは $\frac{1}{2}$ (選択肢⑤)となる。

次に、信頼度95%の信頼区間を求める。標本平均 $\bar{x}$ は4.25、標本平均の標準偏差 $\sigma_{\bar{x}}$ は $\frac{1}{2}=0.5$ である。信頼度95%の場合、信頼区間を計算する際に使用するz値は1.96とする。信頼区間は以下の式で計算される。

$\bar{x} - z \cdot \sigma_{\bar{x}} \le m \le \bar{x} + z \cdot \sigma_{\bar{x}}$

これに値を代入すると、

$4.25 - 1.96 \cdot 0.5 \le m \le 4.25 + 1.96 \cdot 0.5$

$4.25 - 0.98 \le m \le 4.25 + 0.98$

$3.27 \le m \le 5.23$

したがって、求める信頼区間は $3.27 \le m \le 5.23$ となる。

3. 最終的な答え

標本平均の標準偏差: $\frac{1}{2}$ (選択肢⑤)

信頼度95%の信頼区間: $3.27 \le m \le 5.23$