ある試験の平均点が58.0点、標準偏差が12.0点である。受験者の点数は正規分布に従うとする。生徒Aの得点が82点であったとき、生徒Aより高い点数を取った人の割合を求め、受験者数が5000人だった場合に、生徒Aのおおよその順位を求める。

1. 問題の内容

ある試験の平均点が58.0点、標準偏差が12.0点である。受験者の点数は正規分布に従うとする。生徒Aの得点が82点であったとき、生徒Aより高い点数を取った人の割合を求め、受験者数が5000人だった場合に、生徒Aのおおよその順位を求める。

2. 解き方の手順

(1) 生徒Aの得点82点を標準化する。標準化された変数を$Z$とすると、

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

ここで、$X$は生徒Aの得点、$μ$は平均点、$σ$は標準偏差である。

$Z = \frac{82 - 58}{12} = \frac{24}{12} = 2$

生徒A以上の点数を取った人の割合は、$P(X \geq 82) = P(Z \geq 2)$で表される。

これは、$0.5 - P(0 \leq Z \leq 2)$に等しい。

正規分布表から、$P(0 \leq Z \leq 2) = 0.4772$である。

したがって、$P(X \geq 82) = 0.5 - 0.4772 = 0.0228$

(2) 受験者数が5000人なので、生徒Aより高い点数を取った人の数は、

$5000 \times 0.0228 = 114$人となる。

したがって、生徒Aの順位は、114 + 1 = 115位となる。

115位は101位～200位の間なので、選択肢②が答えとなる。

3. 最終的な答え

5: 2

6: 0.4772

7: 0.0

8: 2

9: 2

10: 8

11: 1

12: 2

13: 5

14: 0

15: 4

16: 7

17: ②