問題は、平均61、標準偏差14の正規分布に従う確率変数$X$を持つ母集団に関する3つの小問から構成されています。 (1) この確率分布を標準正規分布に変換するための変数変換式を求める。 (2) $P(61 \le X \le 75)$を、標準正規分布$Z$を用いて表し、その値を求める。 (3) $P(X \ge 54)$を、標準正規分布$Z$を用いて表し、その値を求める。

1. 問題の内容

問題は、平均61、標準偏差14の正規分布に従う確率変数$X$を持つ母集団に関する3つの小問から構成されています。

(1) この確率分布を標準正規分布に変換するための変数変換式を求める。

(2) $P(61 \le X \le 75)$を、標準正規分布$Z$を用いて表し、その値を求める。

(3) $P(X \ge 54)$を、標準正規分布$Z$を用いて表し、その値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 標準化の公式は$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$です。ここで、$\mu$は平均、$\sigma$は標準偏差です。

与えられた情報から、$\mu = 61$、$\sigma = 14$なので、

$Z = \frac{X - 61}{14}$となります。

したがって、1は61、2は14、3は14、4は14です。

(2) $P(61 \le X \le 75)$を標準正規分布に変換します。

$X = 61$のとき、$Z = \frac{61 - 61}{14} = 0$です。

$X = 75$のとき、$Z = \frac{75 - 61}{14} = \frac{14}{14} = 1$です。

したがって、$P(61 \le X \le 75) = P(0 \le Z \le 1)$となります。

正規分布表から、$P(0 \le Z \le 1) = 0.3413$です。

したがって、5は1、6は3、7は4、8は1、9は3です。

(3) $P(X \ge 54)$を標準正規分布に変換します。

$X = 54$のとき、$Z = \frac{54 - 61}{14} = \frac{-7}{14} = -0.5$です。

したがって、$P(X \ge 54) = P(Z \ge -0.5)$となります。

$P(Z \ge -0.5) = 0.5 + P(-0.5 \le Z \le 0)$で、$P(-0.5 \le Z \le 0) = P(0 \le Z \le 0.5)$です。

正規分布表から、$P(0 \le Z \le 0.5) = 0.1915$です。

したがって、$P(X \ge 54) = 0.5 + 0.1915 = 0.6915$となります。

したがって、10は0.5、11は6、12は9、13は1、14は5です。

3. 最終的な答え

(1) $Z = \frac{X - 61}{14}$

1: 61

2: 14

3: 14

4: 14

(2) $P(61 \le X \le 75) = 0.3413$

5: 1

6: 3

7: 4

8: 1

9: 3

(3) $P(X \ge 54) = 0.6915$

10: 0.5

11: 6

12: 9

13: 1

14: 5