赤玉4個、青玉3個、白玉2個が入った袋から、4個の玉を同時に取り出す。 (1) 取り出した4個の玉の中に白玉が含まれない確率を求める。 (2) 取り出した4個の玉の中に青玉が含まれる確率を求める。 (3) 取り出した4個の玉の中に赤玉、青玉、白玉のいずれもが含まれる確率を求める。

1. 問題の内容

赤玉4個、青玉3個、白玉2個が入った袋から、4個の玉を同時に取り出す。

(1) 取り出した4個の玉の中に白玉が含まれない確率を求める。

(2) 取り出した4個の玉の中に青玉が含まれる確率を求める。

(3) 取り出した4個の玉の中に赤玉、青玉、白玉のいずれもが含まれる確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、袋に入っている玉の総数は $4 + 3 + 2 = 9$ 個である。

4個の玉を取り出す組み合わせの総数は ${}_9 C_4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 通り。

(1) 白玉が入っていない確率

白玉が入っていないということは、赤玉と青玉の合計7個から4個選ぶことになる。その組み合わせの数は ${}_7 C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り。

したがって、求める確率は $\frac{35}{126} = \frac{5}{18}$ 。

(2) 青玉が入っている確率

青玉が入っていない確率を求めて、1から引くことで青玉が入っている確率を求める。

青玉が入っていない場合、赤玉4個と白玉2個の合計6個から4個選ぶことになる。その組み合わせの数は ${}_6 C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。

青玉が入っていない確率は $\frac{15}{126} = \frac{5}{42}$ 。

したがって、青玉が入っている確率は $1 - \frac{5}{42} = \frac{42 - 5}{42} = \frac{37}{42}$ 。

(3) 赤玉、青玉、白玉のいずれもが入っている確率

これは、4個の玉の中に、赤玉、青玉、白玉がそれぞれ少なくとも1個含まれている確率を求める。

4個の玉の色内訳は (2,1,1), (1,2,1), (1,1,2) のいずれかである。

(赤2,青1,白1)の組み合わせの数は ${}_4 C_2 \times {}_3 C_1 \times {}_2 C_1 = 6 \times 3 \times 2 = 36$ 通り。

(赤1,青2,白1)の組み合わせの数は ${}_4 C_1 \times {}_3 C_2 \times {}_2 C_1 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ 通り。

(赤1,青1,白2)の組み合わせの数は ${}_4 C_1 \times {}_3 C_1 \times {}_2 C_2 = 4 \times 3 \times 1 = 12$ 通り。

合計すると $36 + 24 + 12 = 72$ 通り。

したがって、求める確率は $\frac{72}{126} = \frac{4}{7}$ 。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{18}$

(2) $\frac{37}{42}$

(3) $\frac{4}{7}$