A, B, C, Dの4人がじゃんけんを1回行う。 (1) 4人が出すじゃんけんの手の組合せは何通りあるか。 (2) Aだけが勝つ確率を求めよ。 (3) AとBが勝ち、CとDが負ける確率を求めよ。 (4) 誰も勝たないで、あいこになる確率を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

A, B, C, Dの4人がじゃんけんを1回行う。

(1) 4人が出すじゃんけんの手の組合せは何通りあるか。

(2) Aだけが勝つ確率を求めよ。

(3) AとBが勝ち、CとDが負ける確率を求めよ。

(4) 誰も勝たないで、あいこになる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 4人が出すじゃんけんの手の組合せ

各人はグー、チョキ、パーの3通りの手を出すことができるので、4人の手の組合せは$3^4$通り。

(2) Aだけが勝つ確率

Aが勝つためには、まずAの手を決めます（3通り）。そして、Aがグーなら他3人はチョキ、Aがチョキなら他3人はパー、Aがパーなら他3人はグーを出す必要があります。つまり、Aの手の選び方が3通りで、それに対応して他の3人の手が決まるので、Aだけが勝つ場合は3通りです。

したがって、確率は$\frac{3}{3^4} = \frac{3}{81} = \frac{1}{27}$。

(3) AとBが勝ち、CとDが負ける確率

まず、AとBが出す手を決めます。このとき、AとBは同じ手を出す必要があります。なぜなら、もし違う手を出した場合、勝ち負けが決まってしまい、AとBが両方勝つことはありえません。

AとBの手の選び方は3通り（グー、チョキ、パー）。AとBがグーなら、CとDはチョキを出す必要があり、AとBがチョキなら、CとDはパーを出す必要があり、AとBがパーなら、CとDはグーを出す必要があります。したがって、AとBが同じ手を出し、CとDが負ける手の出し方は3通りです。

したがって、確率は$\frac{3}{3^4} = \frac{3}{81} = \frac{1}{27}$。

(4) 誰も勝たないで、あいこになる確率

あいこになるのは、全員が同じ手を出すか、3種類の手が全て出る場合です。

全員が同じ手を出す場合：3通り (全員グー、全員チョキ、全員パー)

3種類の手が全て出る場合：

まず、4人のうち誰が同じ手を出すかを考える。

(i)2人が同じ手を出す場合

どの2人が同じ手を出すかを選ぶ：$_4C_2 = 6$通り。

同じ手を出す手を決める：3通り。

残りの2人は違う手を出す。残りの2人の手の出し方は2通り。

$6 * 3 * 2 = 36$通り

(ii) 2人が同じ手を出す組み合わせが2組の場合

どの2人が同じ手を出すかの組み合わせを選ぶ：$_4C_2 = 6$通り

もう一組の2人を選ぶ：$_2C_2 = 1$通り

2組の手を決める：$3*2=6$通り

$6 * 6 /2 = 18$通り

同じ手が出ない場合:

4人のうち、2人だけが同じ手を出す場合を考える。

2人を選び出す方法は $_4C_2 = 6$ 通り。

その2人の手を３種類から選ぶ方法は３通り。

残りの２人は違う手を出す必要がある。これは１通りしかない。

よって 6 × 3 × 1 ＝18 通り

次に、それぞれ違う手を出す場合。

あいこになるのは、全員が同じ手を出す場合と、3種類の手が全て出る場合。

4人全員が同じ手を出すのは3通り。

3種類の手が出る場合を考える。

4人の中に、2人だけ同じ手を出す人がいる場合を考える。

2人を選び方は $_4C_2 = 6$通り。

出す手の選び方は3通り。

残りの2人は違う手を出す必要があるから、2通り。

このとき、確率は (36+3)/81 = 39/81 = 13/27

4人があいこになるのは、

(i)4人全員が同じ手を出す場合：3通り

(ii)3種類の手が出る場合

全体の場合の数は81通りなので、あいこになる確率は$\frac{13}{27}$。

3. 最終的な答え

(1) 81通り

(2) $\frac{1}{27}$

(3) $\frac{1}{27}$

(4) $\frac{13}{27}$