20本のくじの中に当たりくじが3本ある。 (1) 同時に3本引くとき、少なくとも1本が当たりくじである確率を求める。 (2) 同時に4本引くとき、当たりくじが2本以下である確率を求める。

1. 問題の内容

20本のくじの中に当たりくじが3本ある。

(1) 同時に3本引くとき、少なくとも1本が当たりくじである確率を求める。

(2) 同時に4本引くとき、当たりくじが2本以下である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 少なくとも1本が当たりくじである確率は、1から3本ともはずれくじである確率を引くことで求められる。

20本から3本を選ぶ組み合わせの総数は $_{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ 通りである。

はずれくじは17本なので、3本ともはずれくじである組み合わせの数は $_{17}C_3 = \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 680$ 通りである。

したがって、3本ともはずれくじである確率は $\frac{680}{1140} = \frac{34}{57}$ である。

よって、少なくとも1本が当たりくじである確率は $1 - \frac{34}{57} = \frac{23}{57}$ となる。

(2) 当たりくじが2本以下である確率は、当たりくじが0本である確率、当たりくじが1本である確率、当たりくじが2本である確率の和で求められる。

4本引く組み合わせの総数は $_{20}C_4 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845$ 通りである。

当たりくじが0本である組み合わせの数は $_{17}C_4 = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2380$ 通りである。

当たりくじが1本である組み合わせの数は $_3C_1 \times _{17}C_3 = 3 \times \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 680 = 2040$ 通りである。

当たりくじが2本である組み合わせの数は $_3C_2 \times _{17}C_2 = 3 \times \frac{17 \times 16}{2 \times 1} = 3 \times 136 = 408$ 通りである。

したがって、当たりくじが2本以下である組み合わせの総数は $2380 + 2040 + 408 = 4828$ 通りである。

よって、当たりくじが2本以下である確率は $\frac{4828}{4845}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{23}{57}$

(2) $\frac{4828}{4845}$