与えられた4つの計算問題を解きます。 (1) $\frac{d}{dx} \log_e |2x|$ (2) $\frac{d}{dx} \log_2 x$ (3) $\int x\sqrt{x} dx$ (4) $\int_0^1 3^{2x} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの計算問題を解きます。

(1) $\frac{d}{dx} \log_e |2x|$

(2) $\frac{d}{dx} \log_2 x$

(3) $\int x\sqrt{x} dx$

(4) $\int_0^1 3^{2x} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$\log_e |2x| = \log_e 2 + \log_e |x|$ なので、

$\frac{d}{dx} \log_e |2x| = \frac{d}{dx} (\log_e 2 + \log_e |x|) = \frac{d}{dx} \log_e 2 + \frac{d}{dx} \log_e |x| = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

(2)

$\log_2 x = \frac{\log_e x}{\log_e 2}$ なので、

$\frac{d}{dx} \log_2 x = \frac{d}{dx} \frac{\log_e x}{\log_e 2} = \frac{1}{\log_e 2} \frac{d}{dx} \log_e x = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log_e 2}$

(3)

$\int x \sqrt{x} dx = \int x \cdot x^{1/2} dx = \int x^{3/2} dx = \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} + C = \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = \frac{2}{5} x^{5/2} + C$

(4)

$\int_0^1 3^{2x} dx = \int_0^1 (3^2)^x dx = \int_0^1 9^x dx = \left[ \frac{9^x}{\log_e 9} \right]_0^1 = \frac{9^1}{\log_e 9} - \frac{9^0}{\log_e 9} = \frac{9}{\log_e 9} - \frac{1}{\log_e 9} = \frac{8}{\log_e 9} = \frac{8}{\log_e 3^2} = \frac{8}{2 \log_e 3} = \frac{4}{\log_e 3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{x}$

(2) $\frac{1}{x \log_e 2}$

(3) $\frac{2}{5} x^{5/2} + C$

(4) $\frac{4}{\log_e 3}$