関数 $f(x,y) = \lim_{p \to \infty} (|3x|^p + |2y|^p)^{\frac{1}{p}}$ が与えられたとき、偏微分係数 $f_x(1,1)$ および $f_y(1,1)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y) = \lim_{p \to \infty} (|3x|^p + |2y|^p)^{\frac{1}{p}}$ が与えられたとき、偏微分係数 $f_x(1,1)$ および $f_y(1,1)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x,y)$ を具体的に求める。$p \to \infty$ の極限を考えるとき、$|3x|$ と $|2y|$ の大小関係によって場合分けをする。

* $|3x| > |2y|$ のとき、

$f(x,y) = \lim_{p \to \infty} |3x|(1 + (\frac{|2y|}{|3x|})^p)^{\frac{1}{p}} = |3x|$.

* $|3x| < |2y|$ のとき、

$f(x,y) = \lim_{p \to \infty} |2y|(1 + (\frac{|3x|}{|2y|})^p)^{\frac{1}{p}} = |2y|$.

* $|3x| = |2y|$ のとき、

$f(x,y) = \lim_{p \to \infty} (|3x|^p + |3x|^p)^{\frac{1}{p}} = \lim_{p \to \infty} (2|3x|^p)^{\frac{1}{p}} = |3x| \lim_{p \to \infty} 2^{\frac{1}{p}} = |3x|$.

したがって、

$f(x,y) = \max\{|3x|, |2y|\}$

次に、$f_x(1,1)$ と $f_y(1,1)$ を求める。

$x=1, y=1$ の近傍で考える。$|3x|>|2y|$ なので、$f(x,y) = |3x| = 3x$ となる。

$f_x(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x} = 3$

$f_y(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y} = 0$

よって、

$f_x(1,1) = 3$

$f_y(1,1) = 0$

3. 最終的な答え

$f_x(1,1) = 3$

$f_y(1,1) = 0$