a, a, b, c, d, e, f, g の文字が書かれた8枚のカードを横一列に並べる。以下の確率を求めよ。 (1) d, e, f の3枚のカードがこの順番で隣り合う確率 (2) bとcのカードが隣り合わない確率 (3) gのカードより左にも右にもaのカードがある確率

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

a, a, b, c, d, e, f, g の文字が書かれた8枚のカードを横一列に並べる。以下の確率を求めよ。

(1) d, e, f の3枚のカードがこの順番で隣り合う確率

(2) bとcのカードが隣り合わない確率

(3) gのカードより左にも右にもaのカードがある確率

2. 解き方の手順

(1) d, e, fの3枚のカードがこの順番で隣り合う確率を求める。

まず、8枚のカードの並べ方の総数は、同じ文字のaが2枚あるので、

$\frac{8!}{2!} = \frac{40320}{2} = 20160$ 通りです。

d, e, fの3枚を1つのグループとして考えると、このグループと残りの5枚のカード（a, a, b, c, g）を並べることになるので、合計6つのものを並べることになります。

この並べ方は $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ 通りです。

したがって、求める確率は

$\frac{360}{20160} = \frac{36}{2016} = \frac{18}{1008} = \frac{9}{504} = \frac{1}{56}$ となります。

(2) bとcのカードが隣り合わない確率を求める。

まず、bとcが隣り合う場合の数を求めます。bとcを1つのグループとして考えます。このグループの並び方はbcとcbの2通りあります。

bとcのグループと残りの6枚のカード（a, a, d, e, f, g）を並べるので、合計7つのものを並べることになります。

その並べ方は $\frac{7!}{2!} \times 2 = \frac{5040}{2} \times 2 = 5040$ 通りです。

したがって、bとcが隣り合う確率は $\frac{5040}{20160} = \frac{504}{2016} = \frac{252}{1008} = \frac{126}{504} = \frac{63}{252} = \frac{21}{84} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$ です。

bとcが隣り合わない確率は $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ となります。

(3) gのカードより左にも右にもaのカードがある確率を求める。

これは、gのカードが両端に来ない確率を求めることと同じです。

gが左端に来る確率は、残りの7枚のカードを並べることを考えれば良いので、$\frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$ 通り。同様にgが右端に来る場合も2520通り。

よって、gが端に来る場合は $2520 \times 2 = 5040$ 通り。

gが端に来る確率は $\frac{5040}{20160} = \frac{504}{2016} = \frac{1}{4}$

gが端に来ない確率は $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{56}$

(2) $\frac{3}{4}$

(3) $\frac{3}{4}$