Aのゲームは5枚の100円硬貨を同時に投げ、表が出た硬貨の金額をもらえる。Bのゲームは1つのサイコロを投げて、3以上の目が出たら出た目の数だけ100円硬貨をもらい、2以下の目が出たら出た目の数だけ100円硬貨を支払う。AとBどちらのゲームに参加する方が有利か。

はい、承知しました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

Aのゲームは5枚の100円硬貨を同時に投げ、表が出た硬貨の金額をもらえる。Bのゲームは1つのサイコロを投げて、3以上の目が出たら出た目の数だけ100円硬貨をもらい、2以下の目が出たら出た目の数だけ100円硬貨を支払う。AとBどちらのゲームに参加する方が有利か。

2. 解き方の手順

(1) Aのゲームについて考える

5枚の硬貨を投げたとき、表が出る枚数をXとする。Xは0, 1, 2, 3, 4, 5のいずれかの値を取りうる。

Xがkとなる確率をP(X=k)とすると、これは二項分布に従う。

$P(X=k) = \binom{5}{k} (1/2)^k (1/2)^{5-k} = \binom{5}{k} (1/2)^5 = \frac{\binom{5}{k}}{32}$

したがって、表の出る枚数が0, 1, 2, 3, 4, 5となる確率はそれぞれ、

$P(X=0) = \frac{\binom{5}{0}}{32} = \frac{1}{32}$

$P(X=1) = \frac{\binom{5}{1}}{32} = \frac{5}{32}$

$P(X=2) = \frac{\binom{5}{2}}{32} = \frac{10}{32}$

$P(X=3) = \frac{\binom{5}{3}}{32} = \frac{10}{32}$

$P(X=4) = \frac{\binom{5}{4}}{32} = \frac{5}{32}$

$P(X=5) = \frac{\binom{5}{5}}{32} = \frac{1}{32}$

Aのゲームの期待値E(A)は、

$E(A) = 100 \times (0 \times \frac{1}{32} + 1 \times \frac{5}{32} + 2 \times \frac{10}{32} + 3 \times \frac{10}{32} + 4 \times \frac{5}{32} + 5 \times \frac{1}{32})$

$= 100 \times (\frac{0 + 5 + 20 + 30 + 20 + 5}{32})$

$= 100 \times \frac{80}{32} = 100 \times \frac{5}{2} = 250$

(2) Bのゲームについて考える

サイコロを投げたとき、3以上の目が出る確率は$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$、2以下の目が出る確率は$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

Bのゲームの期待値E(B)は、

$E(B) = 100 \times (3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} - 1 \times \frac{1}{6} - 2 \times \frac{1}{6})$

$= 100 \times \frac{3+4+5-1-2}{6}$

$= 100 \times \frac{9}{6} = 100 \times \frac{3}{2} = 150$

(3) AとBの期待値を比較する

$E(A) = 250$, $E(B) = 150$より、$E(A) > E(B)$であるため、Aのゲームの方が有利である。

3. 最終的な答え

Aのゲームに参加する方が有利。