座標平面上の格子点上を動く点Pについて、以下の問いに答える問題です。 (a) 最初、点Pは原点Oにあります。 (b) ある時刻に点Pが格子点$(m, n)$にあるとき、その1秒後の点Pの位置は、隣接する格子点$(m+1, n)$, $(m, n+1)$, $(m-1, n)$, $(m, n-1)$のいずれかであり、これらの点に移動する確率はそれぞれ$\frac{1}{4}$です。 (1) 点Pが最初から6秒後に直線$y=x$上にある確率を求めます。 (2) 点Pが最初から6秒後に原点Oにある確率を求めます。

1. 問題の内容

座標平面上の格子点上を動く点Pについて、以下の問いに答える問題です。

(a) 最初、点Pは原点Oにあります。

(b) ある時刻に点Pが格子点$(m, n)$にあるとき、その1秒後の点Pの位置は、隣接する格子点$(m+1, n)$, $(m, n+1)$, $(m-1, n)$, $(m, n-1)$のいずれかであり、これらの点に移動する確率はそれぞれ$\frac{1}{4}$です。

(1) 点Pが最初から6秒後に直線$y=x$上にある確率を求めます。

(2) 点Pが最初から6秒後に原点Oにある確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 6秒後に$y=x$上にあるということは、$x$座標と$y$座標が等しいということです。6回の移動で$x=y=k$になるには、右に$a$回、上に$b$回、左に$c$回、下に$d$回移動するとすると、

$a+b+c+d = 6$

$a-c = k$

$b-d = k$

$a+b+c+d=6$ から $c=a-k, d=b-k$.

$a+b+a-k+b-k = 6$, $2a+2b-2k = 6$, $a+b-k=3$.

$a+b=k+3$. $0 \le a \le 6, 0 \le b \le 6, a-k \ge 0, b-k \ge 0$.

$a \ge k$, $b \ge k$, $k+3 \ge k$.

$k=0,1,2,3$.

$k=0: a+b=3, a \ge 0, b \ge

0. (a,b) = (0,3), (1,2), (2,1), (3,0)$.

$k=1: a+b=4, a \ge 1, b \ge

1. (a,b) = (1,3), (2,2), (3,1)$.

$k=2: a+b=5, a \ge 2, b \ge

2. (a,b) = (2,3), (3,2)$.

$k=3: a+b=6, a \ge 3, b \ge

3. (a,b) = (3,3)$.

それぞれの場合について、移動のパターン数を求め、確率を計算します。

確率=$\frac{1}{4^6} \times$ (場合の数)

$k=0: \frac{1}{4^6} (\frac{6!}{0!3!3!0!} + \frac{6!}{1!2!2!1!} + \frac{6!}{2!1!1!2!} + \frac{6!}{3!0!0!3!}) = \frac{1}{4^6} (20+180+180+20) = \frac{400}{4^6} = \frac{400}{4096}$

$k=1: \frac{1}{4^6} (\frac{6!}{1!3!2!0!} + \frac{6!}{2!2!1!1!} + \frac{6!}{3!1!0!2!}) = \frac{1}{4^6} (60+180+60) = \frac{300}{4^6} = \frac{300}{4096}$

$k=2: \frac{1}{4^6} (\frac{6!}{2!3!1!0!} + \frac{6!}{3!2!0!1!}) = \frac{1}{4^6} (60+60) = \frac{120}{4^6} = \frac{120}{4096}$

$k=3: \frac{1}{4^6} (\frac{6!}{3!3!0!0!}) = \frac{1}{4^6} (20) = \frac{20}{4096}$

合計=$\frac{400+2\times300+2\times120+2\times20}{4096} = \frac{400+600+240+40}{4096} = \frac{1280}{4096} = \frac{5}{16}$

(2) 原点に戻るには、$a=c$かつ$b=d$が必要です。$a+b+c+d=6$より、$2a+2b=6$, $a+b=3$.

(a,b) = (0,3), (1,2), (2,1), (3,0).

$\frac{1}{4^6}(\frac{6!}{0!3!0!3!}+\frac{6!}{1!2!1!2!}+\frac{6!}{2!1!2!1!}+\frac{6!}{3!0!3!0!}) = \frac{1}{4^6}(20+180+180+20) = \frac{400}{4096} = \frac{25}{256}$

3. 最終的な答え

(1) 点Pが、最初から6秒後に直線y=x上にある確率は$\frac{5}{16}$です。

(2) 点Pが、最初から6秒後に原点Oにある確率は$\frac{25}{256}$です。