正則行列 $A$ の成分がすべて有理数であるとき、その逆行列 $A^{-1}$ の成分もすべて有理数であることを示す。

1. 問題の内容

正則行列 $A$ の成分がすべて有理数であるとき、その逆行列 $A^{-1}$ の成分もすべて有理数であることを示す。

2. 解き方の手順

正則行列 $A$ が与えられたとき、その逆行列 $A^{-1}$ は次のように計算できます。

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$

ここで、$\det(A)$ は行列 $A$ の行列式であり、$\text{adj}(A)$ は行列 $A$ の余因子行列です。

1. 行列式 $\det(A)$ の計算：

行列 $A$ の成分がすべて有理数である場合、行列式の計算は有理数の加算、減算、乗算のみを含むため、$\det(A)$ も有理数となります。また、$A$が正則行列なので $\det(A) \neq 0$です。

2. 余因子行列 $\text{adj}(A)$ の計算：

余因子行列 $\text{adj}(A)$ の各成分は、行列 $A$ の小行列式の符号付きの値です。小行列式は、行列 $A$ のいくつかの行と列を取り除いた行列の行列式であり、その成分も行列 $A$ の成分のみを用いて計算されます。したがって、$A$ の成分がすべて有理数である場合、小行列式も有理数となり、余因子も有理数となります。よって、余因子行列 $\text{adj}(A)$ の成分もすべて有理数です。

3. 逆行列 $A^{-1}$ の計算：

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$ であり、$\det(A)$ が有理数で $\text{adj}(A)$ の成分がすべて有理数であるため、$A^{-1}$ の各成分は有理数 $\frac{1}{\det(A)}$ と有理数の積になります。したがって、$A^{-1}$ の各成分も有理数となります。

3. 最終的な答え

正則行列 $A$ の成分がすべて有理数であるとき、その逆行列 $A^{-1}$ の成分もすべて有理数である。