与えられた連立方程式について、拡大係数行列を作成し、行基本変形によって階段行列を作成し、解を求める。また、解はベクトル表示で表す。さらに、与えられた条件（すべての列ベクトルが線形独立、2つの列ベクトルが線形独立、1つの列ベクトルのみ線形独立）を満たす連立方程式をそれぞれ1つ作成し、解を示す。

## 連立方程式の解法

1. 問題の内容

与えられた連立方程式について、拡大係数行列を作成し、行基本変形によって階段行列を作成し、解を求める。また、解はベクトル表示で表す。さらに、与えられた条件（すべての列ベクトルが線形独立、2つの列ベクトルが線形独立、1つの列ベクトルのみ線形独立）を満たす連立方程式をそれぞれ1つ作成し、解を示す。

2. 解き方の手順

(i) すべての列ベクトルが線形独立である場合

1) 連立方程式

$2x - 3y + z = 11$

$x + y - 2z = -7$

$4x + 32y - 3z = -9$

拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 11 \\ 1 & 1 & -2 & -7 \\ 4 & 32 & -3 & -9 \end{pmatrix}$

行基本変形を行う。

まず、1行目と2行目を入れ替える。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & -7 \\ 2 & -3 & 1 & 11 \\ 4 & 32 & -3 & -9 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引く。

3行目から1行目の4倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & -7 \\ 0 & -5 & 5 & 25 \\ 0 & 28 & 5 & 19 \end{pmatrix}$

2行目を-5で割る。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & -7 \\ 0 & 1 & -1 & -5 \\ 0 & 28 & 5 & 19 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の28倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & -7 \\ 0 & 1 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & 33 & 159 \end{pmatrix}$

3行目を33で割る。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & -7 \\ 0 & 1 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{53}{11} \end{pmatrix}$

3行目から、$z = \frac{53}{11}$

2行目から、$y - z = -5$ より、$y = -5 + z = -5 + \frac{53}{11} = \frac{-55 + 53}{11} = -\frac{2}{11}$

1行目から、$x + y - 2z = -7$ より、$x = -7 - y + 2z = -7 - (-\frac{2}{11}) + 2(\frac{53}{11}) = -7 + \frac{2}{11} + \frac{106}{11} = \frac{-77 + 2 + 106}{11} = \frac{31}{11}$

解は、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{31}{11} \\ -\frac{2}{11} \\ \frac{53}{11} \end{pmatrix}$

2) 連立方程式

$2x - y - z - 2u = 3$

$x - 3y + z + 2u = 6$

$3x + y + 2z + u = 9$

$-x + 4y - 3z - 3u = -6$

拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & -2 & 3 \\ 1 & -3 & 1 & 2 & 6 \\ 3 & 1 & 2 & 1 & 9 \\ -1 & 4 & -3 & -3 & -6 \end{pmatrix}$

(ii) 2つの列ベクトルが線形独立である場合

3) 連立方程式

$x - 2y + z = 3$

$2x - 3y - z = 2$

拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 \\ 2 & -3 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}$

1行目に2行目の2倍を足す

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -5 & -5 \\ 0 & 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}$

$x - 5z = -5$, $y - 3z = -4$

$x = 5z - 5$, $y = 3z - 4$

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5z - 5 \\ 3z - 4 \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

4) 連立方程式

$x + 2y - 3z = 5$

$3x + 5y - 5z + 2u = 12$

$-6x - 8y + 3z - 5u = -14$

(iii) 1つの列ベクトルのみ線形独立である場合

5) 連立方程式

$x - 2y + 3z = 6$

$2x - 4y + 6z = 12$

$4x - 8y + 12z = 24$

これは同じ方程式の定数倍なので、

$x - 2y + 3z = 6$

$x = 2y - 3z + 6$

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2y - 3z + 6 \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

6) 連立方程式

$x + y + z + u = 2$

$-x - y - z - u = -2$

$2x + 2y + 2z + 2u = 4$

$-3x - 3y - 3z - 3u = -6$

(2) 適当な連立方程式の作成と解

(i) すべての列ベクトルが線形独立な連立方程式の例：

$x + y = 3$

$x - y = 1$

拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から1行目を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}$

2行目を-2で割ると

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

1行目から2行目を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$x = 2$, $y = 1$

(ii) 2つの列ベクトルが線形独立な連立方程式の例：

$x + y + z = 1$

この場合、$z = t$ とすると、$x + y = 1 - t$。

$x = s$ とすると、$y = 1 - t - s$。

解は $\begin{pmatrix} s \\ 1-t-s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(iii) 1つの列ベクトルのみ線形独立な連立方程式の例：

$x + y + z = 0$

$2x + 2y + 2z = 0$

これは、

$x + y + z = 0$

$x = -y - z$

解は $\begin{pmatrix} -y - z \\ y \\ z \end{pmatrix} = y\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(i) 1) の解：$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{31}{11} \\ -\frac{2}{11} \\ \frac{53}{11} \end{pmatrix}$

(ii) 3) の解：$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

(iii) 5) の解：$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$