与えられた3つの2次不等式を解く問題です。 (1) $6x^2 - 7x - 3 > 0$ (2) $-x^2 + 2x + 9 \le 0$ (3) $5x^2 + 1 < 5x$

1. 問題の内容

与えられた3つの2次不等式を解く問題です。

(1) $6x^2 - 7x - 3 > 0$

(2) $-x^2 + 2x + 9 \le 0$

(3) $5x^2 + 1 < 5x$

2. 解き方の手順

(1) $6x^2 - 7x - 3 > 0$

左辺を因数分解します。

$6x^2 - 7x - 3 = (2x - 3)(3x + 1)$

よって、不等式は

$(2x - 3)(3x + 1) > 0$

$2x - 3 = 0$ より $x = \frac{3}{2}$

$3x + 1 = 0$ より $x = -\frac{1}{3}$

数直線を考えると、$x < -\frac{1}{3}$ または $x > \frac{3}{2}$

(2) $-x^2 + 2x + 9 \le 0$

両辺に-1をかけて、

$x^2 - 2x - 9 \ge 0$

解の公式を使って、$x^2 - 2x - 9 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-9)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 36}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 1 \pm \sqrt{10}$

数直線を考えると、$x \le 1 - \sqrt{10}$ または $x \ge 1 + \sqrt{10}$

(3) $5x^2 + 1 < 5x$

$5x^2 - 5x + 1 < 0$

解の公式を使って、$5x^2 - 5x + 1 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(5)(1)}}{2(5)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 20}}{10} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{10}$

数直線を考えると、$\frac{5 - \sqrt{5}}{10} < x < \frac{5 + \sqrt{5}}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $x < -\frac{1}{3}$ または $x > \frac{3}{2}$

(2) $x \le 1 - \sqrt{10}$ または $x \ge 1 + \sqrt{10}$

(3) $\frac{5 - \sqrt{5}}{10} < x < \frac{5 + \sqrt{5}}{10}$