2次方程式が異なる2つの正の解を持つための$m$の範囲を求める問題です。ここでは、判別式、軸、端点のy座標に関する条件を利用する方法(数学I)と、判別式と解と係数の関係を利用する方法(数学II)が考えられます。

1. 問題の内容

2次方程式が異なる2つの正の解を持つための$m$の範囲を求める問題です。ここでは、判別式、軸、端点のy座標に関する条件を利用する方法(数学I)と、判別式と解と係数の関係を利用する方法(数学II)が考えられます。

2. 解き方の手順

画像には、数学Iのアプローチの一部が示されています。

(1) 判別式 $D > 0$:

与えられた2次方程式は、$x^2 - 2mx + (2m+3) = 0$ です。

判別式$D$は、$D = (-2m)^2 - 4(1)(2m+3) = 4m^2 - 8m - 12$となります。

$D > 0$より、$4m^2 - 8m - 12 > 0$。

両辺を4で割ると、$m^2 - 2m - 3 > 0$。

因数分解して、$(m-3)(m+1) > 0$。

したがって、$m < -1$ または $m > 3$ ... (1)

(2) 軸 > 0:

軸は$x = -\frac{-2m}{2(1)} = m$。

$m > 0$ ... (2)

(3) $f(0) > 0$:

$f(x) = x^2 - 2mx + (2m+3)$とすると、$f(0) = 2m+3$。

$2m+3 > 0$より、$2m > -3$。

$m > -\frac{3}{2}$ ... (3)

(1)、(2)、(3)より、$m > 3$。

画像の解答欄には $-\frac{3}{2} < m < -1$とあるため、解法IIの解と係数の関係を利用して解きます。

数学IIのアプローチ：

解と係数の関係より、2つの解を$\alpha$, $\beta$とすると、

$\alpha + \beta = 2m$

$\alpha \beta = 2m+3$

異なる2つの正の解を持つ条件は、

(1) 判別式 $D > 0$

(2) $\alpha + \beta > 0$

(3) $\alpha \beta > 0$

(1) $D > 0$ より、$m < -1$ または $m > 3$

(2) $\alpha + \beta = 2m > 0$ より、$m > 0$

(3) $\alpha \beta = 2m+3 > 0$ より、$m > -\frac{3}{2}$

(1)、(2)、(3)を全て満たす$m$の範囲は、$m > 3$。

しかし、解答が $-\frac{3}{2} < m < -1$ とあるので、問題文に誤りがあるか、別の条件が課されている可能性があります。

画像内の条件に基づくと、$m<-1$または$m>3$, $m>0$, $m>-3/2$を全て満たす必要があるので、$m>3$となります。

画像の解答は誤りである可能性が高いです。

3. 最終的な答え

$m > 3$

または、画像の解答欄の通りであれば $-\frac{3}{2} < m < -1$

（ただし、これは問題文の条件と矛盾する可能性が高い）