多項式 $A = x^3 - 9x - 7$ を多項式 $B = x + 2$ で割ったときの商と余りを求める。

## 問題 6 (1)

1. 問題の内容

多項式 $A = x^3 - 9x - 7$ を多項式 $B = x + 2$ で割ったときの商と余りを求める。

2. 解き方の手順

筆算を用いて多項式の割り算を実行する。

まず、$x^3$ を $x$ で割ると $x^2$ となる。

$x^2$ に $x+2$ をかけると $x^3 + 2x^2$ となる。

$x^3 - 9x - 7$ から $x^3 + 2x^2$ を引くと、$-2x^2 - 9x - 7$ となる。

次に、$-2x^2$ を $x$ で割ると $-2x$ となる。

$-2x$ に $x+2$ をかけると $-2x^2 - 4x$ となる。

$-2x^2 - 9x - 7$ から $-2x^2 - 4x$ を引くと、$-5x - 7$ となる。

最後に、$-5x$ を $x$ で割ると $-5$ となる。

$-5$ に $x+2$ をかけると $-5x - 10$ となる。

$-5x - 7$ から $-5x - 10$ を引くと、3となる。

したがって、商は $x^2 - 2x - 5$、余りは 3 となる。

3. 最終的な答え

商: $x^2 - 2x - 5$

余り: 3

## 問題 6 (2)

1. 問題の内容

多項式 $A = 2x^3 - 7x^2 + 5$ を多項式 $B = x - 3$ で割ったときの商と余りを求める。

2. 解き方の手順

筆算を用いて多項式の割り算を実行する。

まず、$2x^3$ を $x$ で割ると $2x^2$ となる。

$2x^2$ に $x-3$ をかけると $2x^3 - 6x^2$ となる。

$2x^3 - 7x^2 + 5$ から $2x^3 - 6x^2$ を引くと、$-x^2 + 5$ となる。

次に、$-x^2$ を $x$ で割ると $-x$ となる。

$-x$ に $x-3$ をかけると $-x^2 + 3x$ となる。

$-x^2 + 5$ から $-x^2 + 3x$ を引くと、$-3x + 5$ となる。

最後に、$-3x$ を $x$ で割ると $-3$ となる。

$-3$ に $x-3$ をかけると $-3x + 9$ となる。

$-3x + 5$ から $-3x + 9$ を引くと、$-4$となる。

したがって、商は $2x^2 - x - 3$、余りは -4 となる。

3. 最終的な答え

商: $2x^2 - x - 3$

余り: -4

## 問題 7

1. 問題の内容

多項式 $x^3 + x^2 - 3x - 1$ を多項式 $B$ で割ると、商が $x-1$、余りが $-3x + 1$ である。多項式 $B$ を求める。

2. 解き方の手順

割り算の関係式 $A = BQ + R$ より、$B = \frac{A - R}{Q}$ である。

$A = x^3 + x^2 - 3x - 1$, $Q = x - 1$, $R = -3x + 1$ を代入すると、

$A - R = (x^3 + x^2 - 3x - 1) - (-3x + 1) = x^3 + x^2 - 3x - 1 + 3x - 1 = x^3 + x^2 - 2$

$B = \frac{x^3 + x^2 - 2}{x - 1}$

筆算または組み立て除法を用いて $x^3 + x^2 - 2$ を $x-1$ で割る。

$x^3 + x^2 - 2 = (x-1)(x^2 + 2x + 2)$

$B = x^2 + 2x + 2$

3. 最終的な答え

$B = x^2 + 2x + 2$