$(3x - 2y)^5$ の展開式を求める問題です。

1. 問題の内容

$(3x - 2y)^5$ の展開式を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開します。二項定理は次の式で表されます。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

この問題では、$a = 3x$, $b = -2y$, $n = 5$ なので、二項定理を適用すると、

$(3x - 2y)^5 = \sum_{k=0}^5 \binom{5}{k} (3x)^{5-k} (-2y)^k$

各項を計算します。

$k=0: \binom{5}{0} (3x)^5 (-2y)^0 = 1 \cdot 243x^5 \cdot 1 = 243x^5$

$k=1: \binom{5}{1} (3x)^4 (-2y)^1 = 5 \cdot 81x^4 \cdot (-2y) = -810x^4y$

$k=2: \binom{5}{2} (3x)^3 (-2y)^2 = 10 \cdot 27x^3 \cdot 4y^2 = 1080x^3y^2$

$k=3: \binom{5}{3} (3x)^2 (-2y)^3 = 10 \cdot 9x^2 \cdot (-8y^3) = -720x^2y^3$

$k=4: \binom{5}{4} (3x)^1 (-2y)^4 = 5 \cdot 3x \cdot 16y^4 = 240xy^4$

$k=5: \binom{5}{5} (3x)^0 (-2y)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (-32y^5) = -32y^5$

したがって、展開式は次のようになります。

$(3x - 2y)^5 = 243x^5 - 810x^4y + 1080x^3y^2 - 720x^2y^3 + 240xy^4 - 32y^5$

3. 最終的な答え

$243x^5 - 810x^4y + 1080x^3y^2 - 720x^2y^3 + 240xy^4 - 32y^5$