$(3x - 2y)^5$ の展開式における $x^2y^3$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(3x - 2y)^5$ の展開式における $x^2y^3$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開式を考えます。二項定理によれば、

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

です。

今回の問題では、$a = 3x$, $b = -2y$, $n = 5$ です。$x^2y^3$ の項を得るためには、$n-k = 2$ かつ $k = 3$ である必要があります。これは、$k=3$ の時に満たされます。

したがって、$x^2y^3$の項は

$\binom{5}{3} (3x)^{5-3} (-2y)^3 = \binom{5}{3} (3x)^2 (-2y)^3$

となります。

$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$(3x)^2 = 9x^2$

$(-2y)^3 = -8y^3$

したがって、$x^2y^3$の項は

$10 \times 9x^2 \times (-8y^3) = 10 \times 9 \times (-8) x^2 y^3 = -720 x^2 y^3$

よって、$x^2y^3$ の係数は $-720$ です。

3. 最終的な答え

-720