数列 $\{a_n\}$ は初項 1, 公差 $\frac{1}{2}$ の等差数列である。数列 $\{b_n\}$ を $b_n = 2^{a_n}$ で定義する。 (1) $P_n = b_1 \times b_2 \times b_3 \times \dots \times b_n$ とするとき, $P_n \geq 2^{100}$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ。 (2) $S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n$ とするとき, $S_n \geq 2^{100}S_2$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は初項 1, 公差 $\frac{1}{2}$ の等差数列である。数列 $\{b_n\}$ を $b_n = 2^{a_n}$ で定義する。

(1) $P_n = b_1 \times b_2 \times b_3 \times \dots \times b_n$ とするとき, $P_n \geq 2^{100}$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ。

(2) $S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n$ とするとき, $S_n \geq 2^{100}S_2$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$a_n = 1 + (n-1)\frac{1}{2} = \frac{n+1}{2}$ である。

したがって, $b_n = 2^{a_n} = 2^{\frac{n+1}{2}}$ である。

$P_n = b_1 \times b_2 \times \dots \times b_n = 2^{\frac{2}{2}} \times 2^{\frac{3}{2}} \times \dots \times 2^{\frac{n+1}{2}} = 2^{\frac{1}{2}(2+3+\dots+(n+1))}$

指数部分を計算する。

$2+3+\dots+(n+1) = \sum_{k=1}^{n+1} k - 1 = \frac{(n+1)(n+2)}{2} - 1 = \frac{n^2+3n+2-2}{2} = \frac{n^2+3n}{2}$

したがって, $P_n = 2^{\frac{1}{2} \times \frac{n(n+3)}{2}} = 2^{\frac{n(n+3)}{4}}$ である。

$P_n \geq 2^{100}$ より, $\frac{n(n+3)}{4} \geq 100$, つまり $n(n+3) \geq 400$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めればよい。

$n^2 + 3n - 400 \geq 0$ を解く。

$n = \frac{-3 \pm \sqrt{9+1600}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{1609}}{2}$

$\sqrt{1609} \approx 40.1$, したがって, $n \approx \frac{-3 \pm 40.1}{2}$

$n$ は正の整数なので, $n \approx \frac{37.1}{2} \approx 18.5$

$n=19$ のとき $n(n+3) = 19 \times 22 = 418 > 400$

$n=18$ のとき $n(n+3) = 18 \times 21 = 378 < 400$

したがって, $n=19$ である。

(2)

$S_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n = 2^{\frac{2}{2}} + 2^{\frac{3}{2}} + \dots + 2^{\frac{n+1}{2}} = 2 + 2^{\frac{3}{2}} + \dots + 2^{\frac{n+1}{2}}$

$S_2 = b_1 + b_2 = 2^{\frac{2}{2}} + 2^{\frac{3}{2}} = 2 + 2\sqrt{2} = 2(1+\sqrt{2})$

$S_n \geq 2^{100} S_2 = 2^{101} (1+\sqrt{2})$

$S_n = \sum_{k=1}^n 2^{\frac{k+1}{2}} = \sum_{k=1}^n (\sqrt{2})^{k+1} = (\sqrt{2})^2 \sum_{k=0}^{n-1} (\sqrt{2})^k = 2 \frac{(\sqrt{2})^n - 1}{\sqrt{2}-1}$

$S_n = 2 \frac{(\sqrt{2})^n - 1}{\sqrt{2}-1} \geq 2^{101} (1+\sqrt{2})$

$\frac{(\sqrt{2})^n - 1}{\sqrt{2}-1} \geq 2^{100} (1+\sqrt{2})$

$(\sqrt{2})^n - 1 \geq 2^{100} (1+\sqrt{2}) (\sqrt{2}-1) = 2^{100} (2-1) = 2^{100}$

$(\sqrt{2})^n \geq 2^{100} + 1$

$2^{\frac{n}{2}} \geq 2^{100} + 1$

$\frac{n}{2} \geq 100$ (近似)

$n \geq 200$

$n=200$のとき $2^{100} \geq 2^{100} + 1$ これは明らかに成り立たない

$2^{\frac{n}{2}} \geq 2^{100}(1+2^{-100})$

$\frac{n}{2} \geq 100+\log_2 (1+2^{-100})$

$\log_2 (1+2^{-100})$ はほぼ 0 なので, $n$ は 200 に非常に近い。

$n=200$とすると、$(\sqrt{2})^{200} = 2^{100} > 2^{100} + 1$ これは成立しない

一方, $2^{\frac{n}{2}} - 1 \geq 2^{100}$ より, $2^{\frac{n}{2}} \approx 2^{100}$ となるので, $\frac{n}{2} \approx 100$ となる。

$\frac{(\sqrt{2})^n - 1}{\sqrt{2} - 1} \geq 2^{100}(1 + \sqrt{2})$

$S_n \geq 2^{100} S_2$ であり, $S_n = \sum_{k=1}^n 2^{\frac{k+1}{2}}$ である。

$n = 200$ の近傍で探す。

$n \geq 200$ を満たす最小の $n$ を求める。

3. 最終的な答え

(1) 19

(2) 200