与えられた行列に対して、基本変形を用いて逆行列を求めます。具体的には、以下の3つの行列の逆行列を求めます。 (1) $ \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} $ (2) $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix} $ (3) $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列に対して、基本変形を用いて逆行列を求めます。具体的には、以下の3つの行列の逆行列を求めます。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ の逆行列を求めます。

まず、$A$に単位行列を並べた拡大行列を作ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ -2 & 4 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目に1行目の2倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 0 & 14 & | & 2 & 1 \end{pmatrix}$

2行目を14で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$

1行目から2行目の5倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & \frac{2}{7} & -\frac{5}{14} \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$

したがって、$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{7} & -\frac{5}{14} \\ \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

(2) 行列 $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}$ の逆行列を求めます。

まず、$B$に単位行列を並べた拡大行列を作ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 4 & | & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 7 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から1行目を引きます。

3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から3行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目から3行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 7 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 5 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、$B^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) 行列 $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ の逆行列を求めます。

まず、$C$の行列式を計算します。

$det(C) = 1(5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2(4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3(4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 1(45-48) - 2(36-42) + 3(32-35) = -3 + 12 - 9 = 0$

行列式が0であるため、この行列は逆行列を持ちません。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ の逆行列は $\frac{1}{14} \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}$ の逆行列は $\begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ は逆行列を持たない