与えられた行列の逆行列を基本変形によって求める問題です。ここでは、(1)の行列について逆行列を求めます。行列は $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ です。

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列を基本変形によって求める問題です。ここでは、(1)の行列について逆行列を求めます。行列は $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ です。

2. 解き方の手順

逆行列を求めるために、与えられた行列に単位行列を並べた拡大行列を作り、行基本変形を用いて左側の行列を単位行列に変形します。変形後の右側の行列が、元の行列の逆行列となります。

ステップ1: 拡大行列を作成する。

$\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ -2 & 4 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ2: 2行目に、1行目の2倍を加える（$R_2 \rightarrow R_2 + 2R_1$）。

$\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 0 & 14 & | & 2 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ3: 2行目を14で割る（$R_2 \rightarrow \frac{1}{14}R_2$）。

$\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$

ステップ4: 1行目から2行目の5倍を引く（$R_1 \rightarrow R_1 - 5R_2$）。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 1 - \frac{5}{7} & 0 - \frac{5}{14} \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$

ステップ5: 1行目を計算する。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & \frac{2}{7} & -\frac{5}{14} \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$

したがって、逆行列は

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{7} & -\frac{5}{14} \\ \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

与えられた行列 $A$ の逆行列は、

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{7} & -\frac{5}{14} \\ \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$

または

$A^{-1} = \frac{1}{14}\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$