2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 = 0$ が異なる2つの正の解をもつような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 = 0$ が異なる2つの正の解をもつような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

2次方程式が異なる2つの正の解を持つための条件は、以下の3つです。

(1) 判別式 $D > 0$ (異なる2つの実数解を持つ)

(2) 軸 $> 0$ (2つの解が正である)

(3) $f(0) > 0$ (2つの解が正である)

まず、判別式 $D$ を計算します。

$D = (2m)^2 - 4(1)(2m+3) = 4m^2 - 8m - 12$

(1) $D > 0$ より、$4m^2 - 8m - 12 > 0$

$m^2 - 2m - 3 > 0$

$(m-3)(m+1) > 0$

よって、$m < -1$ または $m > 3$

(2) 軸は $x = -m$ なので、$-m > 0$

$m < 0$

(3) $f(0) > 0$ より、$0^2 + 2m(0) + 2m + 3 > 0$

$2m + 3 > 0$

$2m > -3$

$m > -\frac{3}{2}$

(1), (2), (3) の条件をすべて満たす $m$ の範囲を求めます。

$m < -1$ または $m > 3$

$m < 0$

$m > -\frac{3}{2}$

したがって、$-\frac{3}{2} < m < -1$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{2} < m < -1$