放物線 $y = x^2 + x - 1$ が $x$ 軸と異なる2点で交わる。その交点をそれぞれA, Bとする。線分ABの長さを求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + x - 1$ が $x$ 軸と異なる2点で交わる。その交点をそれぞれA, Bとする。線分ABの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 + x - 1$ と $x$ 軸との交点を求める。$x$ 軸との交点では $y=0$ なので、

$x^2 + x - 1 = 0$

という二次方程式を解く。解の公式を用いると、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

よって、交点A, Bの $x$ 座標はそれぞれ $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ , $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$である。

したがって、線分ABの長さは、

$\left| \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \right| = \left| \frac{-1 + \sqrt{5} + 1 + \sqrt{5}}{2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{5}}{2} \right| = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}$