与えられたデータは飼料の粗脂肪率の測定値であり、母集団が正規分布に従うことが分かっているが、母平均が未知であるという条件のもとで、母分散 $\sigma^2$ の95%信頼区間を求める問題です。データは以下の通りです。 10.4, 11.1, 10.8, 11.1, 10.9, 11.3, 10.3, 9.7, 8.6, 9.0, 10.0, 9.2

1. 問題の内容

与えられたデータは飼料の粗脂肪率の測定値であり、母集団が正規分布に従うことが分かっているが、母平均が未知であるという条件のもとで、母分散 $\sigma^2$ の95%信頼区間を求める問題です。データは以下の通りです。

10.4, 11.1, 10.8, 11.1, 10.9, 11.3, 10.3, 9.7, 8.6, 9.0, 10.0, 9.2

2. 解き方の手順

まず、与えられたデータから不偏分散 $s^2$ を計算します。次に、カイ二乗分布を用いて母分散の信頼区間を計算します。

ステップ1: データの個数 $n$ を確認します。この場合、$n = 12$ です。

ステップ2: 標本平均 $\bar{x}$ を計算します。

$\bar{x} = \frac{10.4 + 11.1 + 10.8 + 11.1 + 10.9 + 11.3 + 10.3 + 9.7 + 8.6 + 9.0 + 10.0 + 9.2}{12} = \frac{132.4}{12} = 11.0333$

ステップ3: 不偏分散 $s^2$ を計算します。

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

$s^2 = \frac{(10.4-11.0333)^2 + (11.1-11.0333)^2 + (10.8-11.0333)^2 + (11.1-11.0333)^2 + (10.9-11.0333)^2 + (11.3-11.0333)^2 + (10.3-11.0333)^2 + (9.7-11.0333)^2 + (8.6-11.0333)^2 + (9.0-11.0333)^2 + (10.0-11.0333)^2 + (9.2-11.0333)^2}{12-1}$

$s^2 = \frac{0.4014 + 0.0045 + 0.0545 + 0.0045 + 0.0178 + 0.0714 + 0.5377 + 1.7778 + 5.9214 + 4.1345 + 1.0678 + 3.3514}{11}$

$s^2 = \frac{17.345}{11} = 1.5768$

ステップ4: カイ二乗分布を用いて、95%信頼区間を計算します。自由度は $n-1 = 12-1 = 11$ です。

$\chi^2_{0.025, 11} = 21.920$

$\chi^2_{0.975, 11} = 3.816$

ステップ5: 母分散 $\sigma^2$ の95%信頼区間を計算します。

$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}$

$\frac{11 \times 1.5768}{21.920} < \sigma^2 < \frac{11 \times 1.5768}{3.816}$

$\frac{17.3448}{21.920} < \sigma^2 < \frac{17.3448}{3.816}$

$0.7913 < \sigma^2 < 4.5452$

3. 最終的な答え

$0.7913 < \sigma^2 < 4.5452$