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$ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix} $

代数学連立方程式行列逆行列線形代数
2025/6/19
## 問題1
与えられた連立方程式を行列で表現し、係数行列の逆行列を計算して解を求める問題です。以下の2つの連立方程式を解きます。
(1)
2x−y+z=22x - y + z = 2
x+y+z=2x + y + z = 2
3x+2y−z=93x + 2y - z = 9
(2)
x+2y−z=0x + 2y - z = 0
2x+6y−5z=02x + 6y - 5z = 0
−3x−y+5z=0-3x - y + 5z = 0
## 解き方の手順
### (1)

1. 連立方程式を行列で表現します。

\begin{pmatrix}
2 & -1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
3 & 2 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
9
\end{pmatrix}

2. 係数行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

A =
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
3 & 2 & -1
\end{pmatrix}
AA の行列式 ∣A∣|A| を計算します。
∣A∣=2(1∗(−1)−1∗2)−(−1)(1∗(−1)−1∗3)+1(1∗2−1∗3)=2(−3)+1(−4)+1(−1)=−6−4−1=−11|A| = 2(1*(-1) - 1*2) - (-1)(1*(-1) - 1*3) + 1(1*2 - 1*3) = 2(-3) + 1(-4) + 1(-1) = -6 - 4 - 1 = -11
余因子行列を計算します。
C =
\begin{pmatrix}
-3 & 4 & -1 \\
1 & -5 & -7 \\
-2 & -1 & 3
\end{pmatrix}
転置余因子行列（随伴行列）を計算します。
C^T =
\begin{pmatrix}
-3 & 1 & -2 \\
4 & -5 & -1 \\
-1 & -7 & 3
\end{pmatrix}
逆行列 A−1A^{-1} を計算します。
A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T = \frac{1}{-11}
\begin{pmatrix}
-3 & 1 & -2 \\
4 & -5 & -1 \\
-1 & -7 & 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3/11 & -1/11 & 2/11 \\
-4/11 & 5/11 & 1/11 \\
1/11 & 7/11 & -3/11
\end{pmatrix}

3. 解 $x, y, z$ を求めます。

\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
= A^{-1}
\begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
9
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3/11 & -1/11 & 2/11 \\
-4/11 & 5/11 & 1/11 \\
1/11 & 7/11 & -3/11
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
9
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
(6 - 2 + 18)/11 \\
(-8 + 10 + 9)/11 \\
(2 + 14 - 27)/11
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
22/11 \\
11/11 \\
-11/11
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
-1
\end{pmatrix}
### (2)

1. 連立方程式を行列で表現します。

\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 \\
2 & 6 & -5 \\
-3 & -1 & 5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}

2. 係数行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 \\
2 & 6 & -5 \\
-3 & -1 & 5
\end{pmatrix}
AA の行列式 ∣A∣|A| を計算します。
∣A∣=1(6∗5−(−5)∗(−1))−2(2∗5−(−5)∗(−3))+(−1)(2∗(−1)−6∗(−3))=1(30−5)−2(10−15)+(−1)(−2+18)=25+10−16=19|A| = 1(6*5 - (-5)*(-1)) - 2(2*5 - (-5)*(-3)) + (-1)(2*(-1) - 6*(-3)) = 1(30 - 5) - 2(10 - 15) + (-1)(-2 + 18) = 25 + 10 - 16 = 19
余因子行列を計算します。
C =
\begin{pmatrix}
25 & 5 & 16 \\
-9 & 2 & -5 \\
-4 & 3 & 2
\end{pmatrix}
転置余因子行列（随伴行列）を計算します。
C^T =
\begin{pmatrix}
25 & -9 & -4 \\
5 & 2 & 3 \\
16 & -5 & 2
\end{pmatrix}
逆行列 A−1A^{-1} を計算します。
A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T = \frac{1}{19}
\begin{pmatrix}
25 & -9 & -4 \\
5 & 2 & 3 \\
16 & -5 & 2
\end{pmatrix}

3. 解 $x, y, z$ を求めます。

\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
= A^{-1}
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{19}
\begin{pmatrix}
25 & -9 & -4 \\
5 & 2 & 3 \\
16 & -5 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
## 最終的な答え
(1) x=2x = 2, y=1y = 1, z=−1z = -1
(2) x=0x = 0, y=0y = 0, z=0z = 0

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