与えられた4つの積分問題を解く。 (1) $\int \frac{1}{(1-x)^5} dx$ (2) $\int \sqrt{3x-2} dx$ (3) $\int e^{1-4x} dx$ (4) $\int \cos(x-\frac{\pi}{4}) dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの積分問題を解く。

(1) $\int \frac{1}{(1-x)^5} dx$

(2) $\int \sqrt{3x-2} dx$

(3) $\int e^{1-4x} dx$

(4) $\int \cos(x-\frac{\pi}{4}) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{(1-x)^5} dx$

$u = 1-x$ と置換すると、$du = -dx$となる。

したがって、

$\int \frac{1}{u^5} (-du) = -\int u^{-5} du = - \frac{u^{-4}}{-4} + C = \frac{1}{4u^4} + C = \frac{1}{4(1-x)^4} + C$

(2) $\int \sqrt{3x-2} dx$

$u = 3x-2$ と置換すると、$du = 3dx$となる。したがって、$dx = \frac{1}{3} du$。

$\int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{9}(3x-2)^{\frac{3}{2}} + C$

(3) $\int e^{1-4x} dx$

$u = 1-4x$ と置換すると、$du = -4dx$となる。したがって、$dx = -\frac{1}{4} du$。

$\int e^{u} (-\frac{1}{4} du) = -\frac{1}{4} \int e^u du = -\frac{1}{4} e^u + C = -\frac{1}{4} e^{1-4x} + C$

(4) $\int \cos(x-\frac{\pi}{4}) dx$

$u = x-\frac{\pi}{4}$ と置換すると、$du = dx$となる。

$\int \cos(u) du = \sin(u) + C = \sin(x-\frac{\pi}{4}) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4(1-x)^4} + C$

(2) $\frac{2}{9}(3x-2)^{\frac{3}{2}} + C$

(3) $-\frac{1}{4} e^{1-4x} + C$

(4) $\sin(x-\frac{\pi}{4}) + C$