与えられた関数 $f(x) = \frac{(\log x)^2}{x}$ の微分 $f'(x)$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{(\log x)^2}{x}$ の微分 $f'(x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用います。商の微分公式は、関数 $u(x)$ と $v(x)$ に対して、

$\qquad \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

で与えられます。

今回の問題では、$u(x) = (\log x)^2$ と $v(x) = x$ とおきます。

まず、$u(x)$ の微分を計算します。合成関数の微分公式を用いると、

$u'(x) = 2(\log x) \cdot (\log x)' = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \log x}{x}$

次に、$v(x)$ の微分を計算します。

$v'(x) = (x)' = 1$

したがって、商の微分公式より、

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} = \frac{\frac{2 \log x}{x} \cdot x - (\log x)^2 \cdot 1}{x^2} = \frac{2 \log x - (\log x)^2}{x^2}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{2 \log x - (\log x)^2}{x^2}$