一次関数について、与えられた $x$ の変域に対する $y$ の変域を求める問題と、与えられた条件を満たす一次関数の式を求める問題である。

1. 問題の内容

一次関数について、与えられた $x$ の変域に対する $y$ の変域を求める問題と、与えられた条件を満たす一次関数の式を求める問題である。

2. 解き方の手順

問題3 (1)

関数 $y = -x + 7$ において、$x$ の変域が $-3 \le x \le 0$ であるときの $y$ の変域を求める。

$x = -3$ のとき、$y = -(-3) + 7 = 3 + 7 = 10$

$x = 0$ のとき、$y = -0 + 7 = 7$

$x$ が増加すると $y$ は減少するので、変域は $7 \le y \le 10$ となる。

問題3 (2)

関数 $y = \frac{5}{2}x + 4$ において、$x$ の変域が $-4 \le x \le 6$ であるときの $y$ の変域を求める。

$x = -4$ のとき、$y = \frac{5}{2}(-4) + 4 = -10 + 4 = -6$

$x = 6$ のとき、$y = \frac{5}{2}(6) + 4 = 15 + 4 = 19$

$x$ が増加すると $y$ も増加するので、変域は $-6 \le y \le 19$ となる。

問題4 (1)

変化の割合が 5 で、$x = 0$ のとき $y = -4$ である一次関数を求める。

一次関数の式は $y = ax + b$ で表される。

変化の割合が 5 なので、$a = 5$ 。

$x = 0$ のとき $y = -4$ なので、$b = -4$ 。

よって、一次関数の式は $y = 5x - 4$ となる。

問題4 (2)

変化の割合が $\frac{2}{5}$ で、$x = -10$ のとき $y = 2$ である一次関数を求める。

一次関数の式は $y = ax + b$ で表される。

変化の割合が $\frac{2}{5}$ なので、$a = \frac{2}{5}$ 。

$x = -10$ のとき $y = 2$ なので、$2 = \frac{2}{5}(-10) + b$

$2 = -4 + b$

$b = 6$

よって、一次関数の式は $y = \frac{2}{5}x + 6$ となる。

問題4 (3)

$x$ の値が 4 増加するとき $y$ の値が 2 減少し、$x = 1$ のとき $y = -1$ である一次関数を求める。

変化の割合は $\frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ 。

一次関数の式は $y = ax + b$ で表されるので、$y = -\frac{1}{2}x + b$ 。

$x = 1$ のとき $y = -1$ なので、$-1 = -\frac{1}{2}(1) + b$

$-1 = -\frac{1}{2} + b$

$b = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$

よって、一次関数の式は $y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$ となる。

問題4 (4)

$x = -3$ のとき $y = 5$, $x = 1$ のとき $y = -3$ である一次関数を求める。

一次関数の式は $y = ax + b$ で表される。

連立方程式を立てる。

$5 = -3a + b$

$-3 = a + b$

上の式から下の式を引くと、$8 = -4a$

$a = -2$

$-3 = -2 + b$

$b = -1$

よって、一次関数の式は $y = -2x - 1$ となる。

3. 最終的な答え

問題3 (1): $7 \le y \le 10$

問題3 (2): $-6 \le y \le 19$

問題4 (1): $y = 5x - 4$

問題4 (2): $y = \frac{2}{5}x + 6$

問題4 (3): $y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

問題4 (4): $y = -2x - 1$