与えられた3つの関数について、それぞれ導関数を求めます。 (1) $y = x^2 \sqrt{2-x}$ (2) $y = \frac{\cos x}{1 + \sin x}$ (3) $y = \frac{e^{2x}}{x} + \log(\tan x)$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、それぞれ導関数を求めます。

(1) $y = x^2 \sqrt{2-x}$

(2) $y = \frac{\cos x}{1 + \sin x}$

(3) $y = \frac{e^{2x}}{x} + \log(\tan x)$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 \sqrt{2-x}$ の導関数を求めます。積の微分公式と合成関数の微分公式を使います。

$y' = (x^2)'\sqrt{2-x} + x^2(\sqrt{2-x})'$

$= 2x\sqrt{2-x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2-x}} \cdot (-1)$

$= 2x\sqrt{2-x} - \frac{x^2}{2\sqrt{2-x}}$

$= \frac{4x(2-x) - x^2}{2\sqrt{2-x}}$

$= \frac{8x - 4x^2 - x^2}{2\sqrt{2-x}}$

$= \frac{8x - 5x^2}{2\sqrt{2-x}}$

$= \frac{x(8-5x)}{2\sqrt{2-x}}$

(2) $y = \frac{\cos x}{1 + \sin x}$ の導関数を求めます。商の微分公式を使います。

$y' = \frac{(\cos x)'(1+\sin x) - \cos x(1+\sin x)'}{(1+\sin x)^2}$

$= \frac{-\sin x(1+\sin x) - \cos x(\cos x)}{(1+\sin x)^2}$

$= \frac{-\sin x - \sin^2 x - \cos^2 x}{(1+\sin x)^2}$

$= \frac{-\sin x - 1}{(1+\sin x)^2}$

$= \frac{-(1+\sin x)}{(1+\sin x)^2}$

$= -\frac{1}{1+\sin x}$

(3) $y = \frac{e^{2x}}{x} + \log(\tan x)$ の導関数を求めます。商の微分公式と合成関数の微分公式を使います。

$y' = \left(\frac{e^{2x}}{x}\right)' + (\log(\tan x))'$

$= \frac{(e^{2x})'x - e^{2x}(x)'}{x^2} + \frac{(\tan x)'}{\tan x}$

$= \frac{2e^{2x}x - e^{2x}}{x^2} + \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{\sin x}{\cos x}}$

$= \frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2} + \frac{1}{\cos x \sin x}$

$= \frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2} + \frac{1}{\cos x \sin x}$

$= \frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2} + \frac{2}{2\cos x \sin x}$

$= \frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2} + \frac{2}{\sin 2x}$

$= \frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2} + 2\csc(2x)$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{x(8-5x)}{2\sqrt{2-x}}$

(2) $y' = -\frac{1}{1+\sin x}$

(3) $y' = \frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2} + 2\csc(2x)$