与えられた2つの関数について、最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = -2x^4 + 4x^2 + 1$ (2) $y = (x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x) + 5$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = -2x^4 + 4x^2 + 1$

(2) $y = (x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x) + 5$

2. 解き方の手順

(1) $y = -2x^4 + 4x^2 + 1$ の場合

$t = x^2$ とおくと、$t \geq 0$であり、$y = -2t^2 + 4t + 1$と表せます。

これを平方完成すると、

$y = -2(t^2 - 2t) + 1 = -2(t^2 - 2t + 1 - 1) + 1 = -2(t - 1)^2 + 2 + 1 = -2(t - 1)^2 + 3$

$t = 1$のとき、最大値3をとります。このとき、$x^2 = 1$より、$x = \pm 1$です。

$t \geq 0$なので、$t$が大きくなるほど$y$の値は小さくなります。$x$に制限がないので、$t$はいくらでも大きくなり、$y$には最小値がありません。

(2) $y = (x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x) + 5$ の場合

$t = x^2 - 2x$ とおくと、$y = t^2 + 4t + 5$ と表せます。

これを平方完成すると、

$y = (t^2 + 4t + 4) + 5 - 4 = (t + 2)^2 + 1$

ここで、$t = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$ より、$t \geq -1$です。

$t = -2$のとき$y$は最小値1をとりますが、$t$の範囲は$t \geq -1$なので、$t=-2$になることはありません。

$t = -1$ のとき、$y = (-1 + 2)^2 + 1 = 1^2 + 1 = 2$ となり、これは最小値です。

このとき、$x^2 - 2x = -1$なので、$x^2 - 2x + 1 = 0$となり、$(x - 1)^2 = 0$より、$x = 1$です。

$t$が大きくなるほど$y$は大きくなるので、最大値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 3 ($x = \pm 1$のとき), 最小値: なし

(2) 最小値: 2 ($x = 1$のとき), 最大値: なし