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与えられた行列 $A$ とベクトル $b$ に対して、線形方程式 $Ax = b$ を解きます。 $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & -3 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$

代数学線形代数線形方程式行列拡大係数行列行基本変形連立方程式
2025/6/19

1. 問題の内容

与えられた行列 AA とベクトル bb に対して、線形方程式 Ax=bAx = b を解きます。
A=(241−112−112112132−3),b=(12−20)A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & -3 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}

2. 解き方の手順

拡大係数行列 [A∣b][A|b] を作成し、行基本変形を用いて階段行列に変形することで解を求めます。
[A∣b]=(241−1∣112−11∣22112∣−2132−3∣0)[A|b] = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & -1 & | & 1 \\ 1 & 2 & -1 & 1 & | & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 2 & | & -2 \\ 1 & 3 & 2 & -3 & | & 0 \end{pmatrix}
まず、1行目と2行目を入れ替えます。
(12−11∣2241−1∣12112∣−2132−3∣0)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & | & 2 \\ 2 & 4 & 1 & -1 & | & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 & | & -2 \\ 1 & 3 & 2 & -3 & | & 0 \end{pmatrix}
2行目から1行目の2倍を引きます（R2 = R2 - 2*R1）。
3行目から1行目の2倍を引きます（R3 = R3 - 2*R1）。
4行目から1行目を引きます（R4 = R4 - R1）。
(12−11∣2003−3∣−30−330∣−6013−4∣−2)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 3 & -3 & | & -3 \\ 0 & -3 & 3 & 0 & | & -6 \\ 0 & 1 & 3 & -4 & | & -2 \end{pmatrix}
2行目と3行目を入れ替えます。
(12−11∣20−330∣−6003−3∣−3013−4∣−2)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & | & 2 \\ 0 & -3 & 3 & 0 & | & -6 \\ 0 & 0 & 3 & -3 & | & -3 \\ 0 & 1 & 3 & -4 & | & -2 \end{pmatrix}
2行目を-3で割ります（R2 = R2 / -3）。
(12−11∣201−10∣2003−3∣−3013−4∣−2)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 0 & 3 & -3 & | & -3 \\ 0 & 1 & 3 & -4 & | & -2 \end{pmatrix}
4行目から2行目を引きます（R4 = R4 - R2）。
(12−11∣201−10∣2003−3∣−3004−4∣−4)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 0 & 3 & -3 & | & -3 \\ 0 & 0 & 4 & -4 & | & -4 \end{pmatrix}
3行目を3で割ります（R3 = R3 / 3）。
(12−11∣201−10∣2001−1∣−1004−4∣−4)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & 4 & -4 & | & -4 \end{pmatrix}
4行目から3行目の4倍を引きます（R4 = R4 - 4*R3）。
(12−11∣201−10∣2001−1∣−10000∣0)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}
3行目より x3−x4=−1x_3 - x_4 = -1、つまり x3=x4−1x_3 = x_4 - 1。
2行目より x2−x3=2x_2 - x_3 = 2、つまり x2=x3+2=(x4−1)+2=x4+1x_2 = x_3 + 2 = (x_4 - 1) + 2 = x_4 + 1。
1行目より x1+2x2−x3+x4=2x_1 + 2x_2 - x_3 + x_4 = 2。
x1=2−2x2+x3−x4=2−2(x4+1)+(x4−1)−x4=2−2x4−2+x4−1−x4=−2x4−1x_1 = 2 - 2x_2 + x_3 - x_4 = 2 - 2(x_4 + 1) + (x_4 - 1) - x_4 = 2 - 2x_4 - 2 + x_4 - 1 - x_4 = -2x_4 - 1。
したがって、x1=−2x4−1,x2=x4+1,x3=x4−1x_1 = -2x_4 - 1, x_2 = x_4 + 1, x_3 = x_4 - 1 となります。x4=tx_4 = t とすると、解は
x=(−2t−1t+1t−1t)=(−11−10)+t(−2111)x = \begin{pmatrix} -2t - 1 \\ t + 1 \\ t - 1 \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

x=(−11−10)+t(−2111)x = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} （tt は任意の実数）

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