与えられた式 $x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、式を整理して因数分解しやすい形にすることを試みます。

$x$ について整理すると、

$x^2 + (2y - 8)x - 14y + 7$

となります。

次に、たすき掛けを試みることを考えます。

定数項 $-14y + 7 = 7(1-2y)$に着目し、$(x+a)(x+b)$という形に因数分解できると仮定します。

すると、$ab = -14y + 7$ であり、$a + b = 2y - 8$ となるような $a$ と $b$ を見つけたいことになります。

ここで、$x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7$を注意深く見ると、$x^2 + 2xy$という項があるので、$(x+2y)$という形が出てきそうです。

そこで、以下のように式を変形してみます。

$x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7 = x(x+2y) - 8x - 14y + 7$

$x(x+2y)$ から、$x+2y$ の形が出てくるように、残りの項を $(x+2y)$ で括ることを試みます。

しかし、直接にはうまくいきません。

別の方法として、因数分解の形を$(x + Ay + B)(x + Cy + D)$ の形だと仮定して、展開したときに元の式と一致するように係数を決定する方法を考えます。

しかし、この方法は計算が複雑になるため、より簡単な方法を探します。

与式に、$y$の係数に注目し、$-14y$という項に着目して、$(x+ay+b)$のような形が出てくることを期待し、因数分解を試みる。

$x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7 = (x+2y)(x+c) + d$ と仮定すると、

$(x+2y)(x+c) + d = x^2 + cx + 2xy + 2cy + d = x^2 + 2xy + cx + 2cy + d$

これは、

$x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7$

と一致しない。

式全体をよく見ると、以下のようにも変形できます。

$x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7 = x^2 - 8x + 16 + 2xy - 14y - 9$

$= (x-4)^2 + 2y(x-7) - 9$

やはり、うまくいきません。

ここで、発想を変えて、与えられた式を因数分解するのではなく、式を0とおいたときにどのような解を持つかを考えることにします。しかし、これは問題の意図とは異なると考えられます。

最終的には、この式はこれ以上簡単に因数分解できないと判断します。

3. 最終的な答え

因数分解できません。