与えられた行列の階数（ランク）を求めます。行列は次の通りです。 $ \begin{pmatrix} a & b & b & b \\ b & a & b & b \\ b & b & a & b \\ b & b & b & a \end{pmatrix} $ ただし、$a, b$ は定数です。

1. 問題の内容

与えられた行列の階数（ランク）を求めます。行列は次の通りです。

$\begin{pmatrix} a & b & b & b \\ b & a & b & b \\ b & b & a & b \\ b & b & b & a \end{pmatrix}$

ただし、$a, b$ は定数です。

2. 解き方の手順

与えられた行列の階数を求めるためには、行列を簡約化して、線形独立な行の数を数えます。

まず、行列の各行から最初の行を引くことを考えます。

$\begin{pmatrix} a & b & b & b \\ b & a & b & b \\ b & b & a & b \\ b & b & b & a \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} a & b & b & b \\ b-a & a-b & 0 & 0 \\ b-a & 0 & a-b & 0 \\ b-a & 0 & 0 & a-b \end{pmatrix}$

次に、第2行以降を $(a-b)$ で割ることを考えます。ただし、$a \neq b$ を仮定します。

$\begin{pmatrix} a & b & b & b \\ b-a & a-b & 0 & 0 \\ b-a & 0 & a-b & 0 \\ b-a & 0 & 0 & a-b \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} a & b & b & b \\ -(a-b) & (a-b) & 0 & 0 \\ -(a-b) & 0 & (a-b) & 0 \\ -(a-b) & 0 & 0 & (a-b) \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} a & b & b & b \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

（ただし、$a \neq b$）

次に、第2行以降を第1行に足します。

$\begin{pmatrix} a & b & b & b \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} a-3 & b+1 & b+1 & b+1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、第2,3,4行に1行目をそれぞれ加えて簡約化します。

$\begin{pmatrix} a-3 & b+1 & b+1 & b+1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

ここで、次の式が成り立つことに注意してください。

$(a-b) + (n-1)b = a + (n-1)b$

ここで、元の行列の階数は、$a + 3b \neq 0$ かつ $a \neq b$ のとき4となります。

もし、$a=b$ ならば、与えられた行列は次のようになります。

$\begin{pmatrix} a & a & a & a \\ a & a & a & a \\ a & a & a & a \\ a & a & a & a \end{pmatrix}$

このとき、階数は1です（$a \neq 0$ の場合。 $a = 0$ なら階数は0）。

もし $a+3b=0$ であれば、ランクは3になります。（ただし、$a \neq b$）

このとき、$a = -3b$ であり、$a \neq b$ より $b \neq 0$。

まとめると:

* $a=b$ かつ $a \neq 0$ ならば、階数は1

* $a=b=0$ ならば、階数は0

* $a \neq b$ かつ $a+3b \neq 0$ ならば、階数は4

* $a \neq b$ かつ $a+3b = 0$ ならば、階数は3

3. 最終的な答え

階数は場合分けによって異なります。

* $a=b$ かつ $a \neq 0$ のとき、階数は1

* $a=b=0$ のとき、階数は0

* $a \neq b$ かつ $a+3b \neq 0$ のとき、階数は4

* $a \neq b$ かつ $a+3b = 0$ のとき、階数は3