次の式の展開式における、指定された項の係数を求めます。 (1) $(3x^2 + 1)^5$ の展開式における $x^6$ の項の係数 (2) $(x^2 - 2x)^5$ の展開式における $x^7$ の項の係数

1. 問題の内容

次の式の展開式における、指定された項の係数を求めます。

(1) $(3x^2 + 1)^5$ の展開式における $x^6$ の項の係数

(2) $(x^2 - 2x)^5$ の展開式における $x^7$ の項の係数

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を使って展開します。$(3x^2+1)^5$の一般項は

$${}_5C_r (3x^2)^r (1)^{5-r} = {}_5C_r 3^r x^{2r}$$

$x^6$の項を求めるので、$2r = 6$となる$r$を探します。

$r = 3$となります。

したがって、$x^6$の項の係数は

$${}_5C_3 \cdot 3^3 = \frac{5!}{3!2!} \cdot 27 = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot 27 = 10 \cdot 27 = 270$$

(2) 二項定理を使って展開します。$(x^2 - 2x)^5$の一般項は

$${}_5C_r (x^2)^r (-2x)^{5-r} = {}_5C_r x^{2r} (-2)^{5-r} x^{5-r} = {}_5C_r (-2)^{5-r} x^{2r + 5 - r} = {}_5C_r (-2)^{5-r} x^{r+5}$$

$x^7$の項を求めるので、$r + 5 = 7$となる$r$を探します。

$r = 2$となります。

したがって、$x^7$の項の係数は

$${}_5C_2 (-2)^{5-2} = {}_5C_2 (-2)^3 = \frac{5!}{2!3!} \cdot (-8) = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot (-8) = 10 \cdot (-8) = -80$$

3. 最終的な答え

(1) 270

(2) -80