$3 < x < 5$、$-1 < y < 4$ であるとき、以下の式の取りうる値の範囲をそれぞれ求める。 (1) $x - 1$ (2) $-3y$ (3) $x + y$ (4) $x - y$ (5) $2x - 3y$

1. 問題の内容

$3 < x < 5$、$-1 < y < 4$ であるとき、以下の式の取りうる値の範囲をそれぞれ求める。

(1) $x - 1$

(2) $-3y$

(3) $x + y$

(4) $x - y$

(5) $2x - 3y$

2. 解き方の手順

(1) $x - 1$ について

$3 < x < 5$ の各辺から1を引く。

$3 - 1 < x - 1 < 5 - 1$

$2 < x - 1 < 4$

(2) $-3y$ について

$-1 < y < 4$ の各辺に-3をかける。負の数をかけるので不等号の向きが変わる。

$-3 * 4 < -3y < -3 * (-1)$

$-12 < -3y < 3$

(3) $x + y$ について

$3 < x < 5$ と $-1 < y < 4$ の各辺を足し合わせる。

$3 + (-1) < x + y < 5 + 4$

$2 < x + y < 9$

(4) $x - y$ について

$x - y = x + (-y)$ なので、まず $-y$ の範囲を求める。

$-1 < y < 4$ の各辺に-1をかける。

$-4 < -y < 1$

よって、$3 < x < 5$ と $-4 < -y < 1$ の各辺を足し合わせる。

$3 + (-4) < x - y < 5 + 1$

$-1 < x - y < 6$

(5) $2x - 3y$ について

$2x$ の範囲を求める。 $3 < x < 5$ の各辺に2をかける。

$6 < 2x < 10$

$-3y$ の範囲は(2)で求めた通り。

$-12 < -3y < 3$

よって、$6 < 2x < 10$ と $-12 < -3y < 3$ の各辺を足し合わせる。

$6 + (-12) < 2x - 3y < 10 + 3$

$-6 < 2x - 3y < 13$

3. 最終的な答え

(1) $2 < x - 1 < 4$

(2) $-12 < -3y < 3$

(3) $2 < x + y < 9$

(4) $-1 < x - y < 6$

(5) $-6 < 2x - 3y < 13$