次の複素数の計算問題を解きます。 (1) $(3-2i)(-2+i)$ (2) $(1+\sqrt{-2})(3-\sqrt{-8})$ (3) $(1-i)^3$ (4) $\frac{1}{1+i}+\frac{1}{1-2i}$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の複素数の計算問題を解きます。

(1) $(3-2i)(-2+i)$

(2) $(1+\sqrt{-2})(3-\sqrt{-8})$

(3) $(1-i)^3$

(4) $\frac{1}{1+i}+\frac{1}{1-2i}$

2. 解き方の手順

(1) $(3-2i)(-2+i)$ を展開します。

$3 \times (-2) + 3 \times i -2i \times (-2) -2i \times i = -6 + 3i + 4i -2i^2$

$i^2 = -1$ なので、

$-6 + 7i -2(-1) = -6 + 7i + 2 = -4 + 7i$

(2) $(1+\sqrt{-2})(3-\sqrt{-8})$ を計算します。

$\sqrt{-2} = \sqrt{2}i$ , $\sqrt{-8} = \sqrt{8}i = 2\sqrt{2}i$ なので、

$(1+\sqrt{2}i)(3-2\sqrt{2}i) = 1 \times 3 + 1 \times (-2\sqrt{2}i) + \sqrt{2}i \times 3 + \sqrt{2}i \times (-2\sqrt{2}i)$

$= 3 -2\sqrt{2}i + 3\sqrt{2}i - 4i^2 = 3 + \sqrt{2}i + 4 = 7 + \sqrt{2}i$

(3) $(1-i)^3$ を計算します。

$(1-i)^3 = (1-i)(1-i)^2 = (1-i)(1 -2i + i^2) = (1-i)(1 -2i -1) = (1-i)(-2i)$

$= 1 \times (-2i) - i \times (-2i) = -2i + 2i^2 = -2i -2 = -2 -2i$

(4) $\frac{1}{1+i}+\frac{1}{1-2i}$ を計算します。

$\frac{1}{1+i} = \frac{1-i}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i}{1 - i^2} = \frac{1-i}{1-(-1)} = \frac{1-i}{2}$

$\frac{1}{1-2i} = \frac{1+2i}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{1+2i}{1 - (2i)^2} = \frac{1+2i}{1 - 4i^2} = \frac{1+2i}{1+4} = \frac{1+2i}{5}$

$\frac{1}{1+i}+\frac{1}{1-2i} = \frac{1-i}{2} + \frac{1+2i}{5} = \frac{5(1-i) + 2(1+2i)}{10} = \frac{5 - 5i + 2 + 4i}{10} = \frac{7-i}{10} = \frac{7}{10} - \frac{1}{10}i$

3. 最終的な答え

(1) $-4 + 7i$

(2) $7 + \sqrt{2}i$

(3) $-2 -2i$

(4) $\frac{7}{10} - \frac{1}{10}i$