問題は、二項定理を用いて $(3a-2)^5$ と $(2x-y)^6$ を展開することです。

1. 問題の内容

問題は、二項定理を用いて $(3a-2)^5$ と $(2x-y)^6$ を展開することです。

2. 解き方の手順

(7) $(3a-2)^5$ の展開

二項定理 $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ を用います。

$a = 3a$, $b = -2$, $n = 5$ として、展開します。

$(3a - 2)^5 = \binom{5}{0} (3a)^5 (-2)^0 + \binom{5}{1} (3a)^4 (-2)^1 + \binom{5}{2} (3a)^3 (-2)^2 + \binom{5}{3} (3a)^2 (-2)^3 + \binom{5}{4} (3a)^1 (-2)^4 + \binom{5}{5} (3a)^0 (-2)^5$

$= 1 \cdot 243a^5 \cdot 1 + 5 \cdot 81a^4 \cdot (-2) + 10 \cdot 27a^3 \cdot 4 + 10 \cdot 9a^2 \cdot (-8) + 5 \cdot 3a \cdot 16 + 1 \cdot 1 \cdot (-32)$

$= 243a^5 - 810a^4 + 1080a^3 - 720a^2 + 240a - 32$

(8) $(2x-y)^6$ の展開

二項定理 $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ を用います。

$a = 2x$, $b = -y$, $n = 6$ として、展開します。

$(2x - y)^6 = \binom{6}{0} (2x)^6 (-y)^0 + \binom{6}{1} (2x)^5 (-y)^1 + \binom{6}{2} (2x)^4 (-y)^2 + \binom{6}{3} (2x)^3 (-y)^3 + \binom{6}{4} (2x)^2 (-y)^4 + \binom{6}{5} (2x)^1 (-y)^5 + \binom{6}{6} (2x)^0 (-y)^6$

$= 1 \cdot 64x^6 \cdot 1 + 6 \cdot 32x^5 \cdot (-y) + 15 \cdot 16x^4 \cdot y^2 + 20 \cdot 8x^3 \cdot (-y^3) + 15 \cdot 4x^2 \cdot y^4 + 6 \cdot 2x \cdot (-y^5) + 1 \cdot 1 \cdot y^6$

$= 64x^6 - 192x^5y + 240x^4y^2 - 160x^3y^3 + 60x^2y^4 - 12xy^5 + y^6$

3. 最終的な答え

(7) $(3a-2)^5 = 243a^5 - 810a^4 + 1080a^3 - 720a^2 + 240a - 32$

(8) $(2x-y)^6 = 64x^6 - 192x^5y + 240x^4y^2 - 160x^3y^3 + 60x^2y^4 - 12xy^5 + y^6$