二項定理を用いて、与えられた式の展開式における指定された項の係数を求める問題です。 (1) $(x+3)^7$ の展開式における $x^4$ の項の係数を求めます。 (2) $(x-4)^5$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求めます。 (3) $(3x+1)^6$ の展開式における $x^5$ の項の係数を求めます。 (4) $(2x-3)^5$ の展開式における $x^3$ の項の係数を求めます。 (5) $(x+3y)^7$ の展開式における $x^5y^2$ の項の係数を求めます。 (6) $(2x-3y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の項の係数を求めます。

## 問題 11

1. 問題の内容

二項定理を用いて、与えられた式の展開式における指定された項の係数を求める問題です。

(1) $(x+3)^7$ の展開式における $x^4$ の項の係数を求めます。

(2) $(x-4)^5$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求めます。

(3) $(3x+1)^6$ の展開式における $x^5$ の項の係数を求めます。

(4) $(2x-3)^5$ の展開式における $x^3$ の項の係数を求めます。

(5) $(x+3y)^7$ の展開式における $x^5y^2$ の項の係数を求めます。

(6) $(2x-3y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の項の係数を求めます。

2. 解き方の手順

二項定理を利用します。$(a+b)^n$ の展開式における一般項は、

$${}_n C_r a^{n-r} b^r$$

で表されます。ここで、${}_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ は二項係数です。

(1) $(x+3)^7$ の $x^4$ の項

$r = 3$ のとき、$x^{7-3} 3^3 = x^4 \cdot 3^3$ となるので、

係数は ${}_7 C_3 \cdot 3^3 = \frac{7!}{3!4!} \cdot 27 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 27 = 35 \cdot 27 = 945$

(2) $(x-4)^5$ の $x^2$ の項

$r = 3$ のとき、$x^{5-3} (-4)^3 = x^2 \cdot (-4)^3$ となるので、

係数は ${}_5 C_3 \cdot (-4)^3 = \frac{5!}{3!2!} \cdot (-64) = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot (-64) = 10 \cdot (-64) = -640$

(3) $(3x+1)^6$ の $x^5$ の項

$r = 1$ のとき、$(3x)^{6-1} \cdot 1^1 = (3x)^5 \cdot 1$ となるので、

係数は ${}_6 C_1 \cdot 3^5 = \frac{6!}{1!5!} \cdot 243 = 6 \cdot 243 = 1458$

(4) $(2x-3)^5$ の $x^3$ の項

$r = 2$ のとき、$(2x)^{5-2} (-3)^2 = (2x)^3 \cdot (-3)^2$ となるので、

係数は ${}_5 C_2 \cdot 2^3 \cdot (-3)^2 = \frac{5!}{2!3!} \cdot 8 \cdot 9 = 10 \cdot 8 \cdot 9 = 720$

(5) $(x+3y)^7$ の $x^5y^2$ の項

$r = 2$ のとき、$x^{7-2} (3y)^2 = x^5 (3y)^2$ となるので、

係数は ${}_7 C_2 \cdot 3^2 = \frac{7!}{2!5!} \cdot 9 = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} \cdot 9 = 21 \cdot 9 = 189$

(6) $(2x-3y)^6$ の $x^3y^3$ の項

$r = 3$ のとき、$(2x)^{6-3} (-3y)^3 = (2x)^3 (-3y)^3$ となるので、

係数は ${}_6 C_3 \cdot 2^3 \cdot (-3)^3 = \frac{6!}{3!3!} \cdot 8 \cdot (-27) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 8 \cdot (-27) = 20 \cdot 8 \cdot (-27) = -4320$

3. 最終的な答え

(1) 945

(2) -640

(3) 1458

(4) 720

(5) 189

(6) -4320

## 問題 12

1. 問題の内容

二項定理を用いて、与えられた式の展開式における指定された項の係数を求める問題です。

(1) $(3x^2+1)^5$ の展開式における $x^6$ の項の係数を求めます。

(2) $(x^2-2x)^5$ の展開式における $x^7$ の項の係数を求めます。

2. 解き方の手順

二項定理を利用します。$(a+b)^n$ の展開式における一般項は、

$${}_n C_r a^{n-r} b^r$$

で表されます。ここで、${}_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ は二項係数です。

(1) $(3x^2+1)^5$ の $x^6$ の項

$a = 3x^2$, $b = 1$, $n=5$

$(x^2)^{5-r} \cdot 1^r$ から $x^{2(5-r)}$ が出てくるため、$2(5-r) = 6$ となる $r$ を探します。

$10 - 2r = 6$ より $2r = 4$ で $r = 2$。

よって、${}_5 C_2 (3x^2)^3 (1)^2 = {}_5 C_2 (27x^6) (1) = 10 \cdot 27 x^6 = 270x^6$

係数は270。

(2) $(x^2-2x)^5$ の $x^7$ の項

$a = x^2$, $b = -2x$, $n=5$

$(x^2)^{5-r} (-2x)^r = x^{2(5-r)} (-2)^r x^r = (-2)^r x^{10-2r+r} = (-2)^r x^{10-r}$

$10-r = 7$ より $r=3$。

よって、${}_5 C_3 (x^2)^2 (-2x)^3 = {}_5 C_3 (x^4) (-8x^3) = 10 \cdot (-8) x^7 = -80 x^7$

係数は-80。

3. 最終的な答え

(1) 270

(2) -80