与えられた式 $x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を整理して因数分解しやすい形に変形することを試みます。

$x$ について整理すると、

$x^2 + (2y - 8)x - 14y + 7$

となります。

この式を $(x+a)(x+b)$ の形に因数分解できると仮定すると、

$x^2 + (a+b)x + ab$ となります。

係数を比較すると、

$a+b = 2y - 8$

$ab = -14y + 7$

となります。

$x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7 = (x+A)(x+B)+C$ の形に整理することを考えます。

式をよく見ると、

$x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7 = (x + 2y)(x - 8) + ...$

としても上手くいきません。

そこで、

$x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7 = (x + Ay + B)(x + Cy + D) + E$

のような形を考えます。

少し工夫して

$x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7 = (x + ay + b)(x+cy+d)$ とおくと、

$x^2 + (a+c)xy + (ac)y^2 + (b+d)x + (ad+bc)y + bd$

なので、

$a+c = 2$

$ac = 0$

$b+d = -8$

$ad+bc = -14$

$bd = 7$

となります。

$ac = 0$ なので、$a=0$ または $c=0$ です。

$a = 0$ のとき、$c=2$, $b+d=-8$, $bc = -14$, $bd = 7$ となります。

$c = 2$ なので、$2b = -14$, $b = -7$ となります。

$b+d=-8$ より、$-7+d=-8$, $d=-1$ となります。

このとき、$bd=(-7)(-1)=7$ なので、成り立ちます。

したがって、$x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7 = (x-7)(x+2y-1)$ となります。

別の方法として、

$x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7 = (x + ay + b)(x + cy + d)$

の形でうまくいくように、$x-7$ という項が出てくるように調整すると、

$x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7 = (x - 7)(x+2y-1)$ となります。

展開すると、$x^2 + 2xy - x - 7x - 14y + 7 = x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7$ となり、元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(x-7)(x+2y-1)$