右の図のように、AからFの6つの場所に自然数を1から順に書いていく。 (1) 1000はAからFのどこに入るか。 (2) Bにある数とEにある数から1つずつ選んで加えると、和はAにある数になる。このことを、文字を使って説明する。

1. 問題の内容

右の図のように、AからFの6つの場所に自然数を1から順に書いていく。

(1) 1000はAからFのどこに入るか。

(2) Bにある数とEにある数から1つずつ選んで加えると、和はAにある数になる。このことを、文字を使って説明する。

2. 解き方の手順

(1) 自然数はA, B, C, D, E, Fの順に繰り返し書かれている。

つまり、6個ごとに同じ場所に戻ってくる。

1000を6で割った余りを考える。

$1000 ÷ 6 = 166 \cdots 4$

余りが4なので、1000はDの位置に入る。

(2) Bにある数は、6で割ると余りが2になる数。

Eにある数は、6で割ると余りが5になる数。

Bにある数を $6m + 2$ (mは0以上の整数)とする。

Eにある数を $6n + 5$ (nは0以上の整数)とする。

これらの和は、

$6m + 2 + 6n + 5 = 6m + 6n + 7 = 6m + 6n + 6 + 1 = 6(m+n+1) + 1$

$m+n+1$ を $k$ (kは1以上の整数)とおくと、

$6k + 1$

これは6で割ると余りが1になる数なので、Aにある数である。

3. 最終的な答え

(1) D

(2) Bにある数を $6m+2$ 、Eにある数を $6n+5$ とすると、これらの和は $6(m+n+1)+1$ となり、6で割ると余りが1となる数である。これはAにある数である。