与えられた数の分母を有理化し、その結果の式におけるアとイに当てはまる数を求めます。 (1) $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{ア}}{イ}$ (2) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{ア}}{イ}$ (3) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{ア}-\sqrt{2}}{イ}$ (4) $\frac{3}{\sqrt{7}-1} = \frac{\sqrt{7}+ア}{イ}$

1. 問題の内容

与えられた数の分母を有理化し、その結果の式におけるアとイに当てはまる数を求めます。

(1) $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{ア}}{イ}$

(2) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{ア}}{イ}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{ア}-\sqrt{2}}{イ}$

(4) $\frac{3}{\sqrt{7}-1} = \frac{\sqrt{7}+ア}{イ}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{\sqrt{5}}$

分母を有理化するために、分母と分子に$\sqrt{5}$を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

したがって、ア = 5, イ = 5

(2) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分母と分子に$\sqrt{3}$を掛けます。

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$

したがって、ア = 21, イ = 3

(3) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$

分母を有理化するために、分母と分子に$\sqrt{5}-\sqrt{2}$を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \times (\sqrt{5}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$

したがって、ア = 5, イ = 3

(4) $\frac{3}{\sqrt{7}-1}$

分母を有理化するために、分母と分子に$\sqrt{7}+1$を掛けます。

$\frac{3}{\sqrt{7}-1} = \frac{3 \times (\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7}-1) \times (\sqrt{7}+1)} = \frac{3(\sqrt{7}+1)}{7-1} = \frac{3(\sqrt{7}+1)}{6} = \frac{\sqrt{7}+1}{2}$

したがって、ア = 1, イ = 2

3. 最終的な答え

(1) ア = 5, イ = 5

(2) ア = 21, イ = 3

(3) ア = 5, イ = 3

(4) ア = 1, イ = 2