次の場合の数を求めます。 (1) 大中小の3個のさいころを投げるとき、目の大きさが大中小の順に小さくなる場合は何通りあるか。 (2) 1個のさいころを2回投げるとき、目の和が10以上になる場合は何通りあるか。 (3) $(a+b-c)(d+e+f-g)$ を展開すると、項は何個できるか。 (4) 10人の部員の中から、兼任を認めないで、部長、副部長、会計、書記を各1人選ぶとき、選び方は何通りあるか。 (5) 8人が輪の形に並ぶとき、並び方は何通りあるか。 (6) 4人が1回じゃんけんをするとき、手の出し方は何通りあるか。 (7) 144の正の約数の総和を求めなさい。 (8) 12枚の異なるカードの中から10枚選ぶ選び方は何通りあるか。 (9) ぶどう、もも、みかん、なしの4種類の果物の中から5個の果物を買うとき、何通りの買い方があるか。ただし、含まれない果物があってもよい。 (10) KOYOKOKOの8文字をすべて使って文字列を作るとき、文字列は何個作れるか。

1. 問題の内容

次の場合の数を求めます。

(1) 大中小の3個のさいころを投げるとき、目の大きさが大中小の順に小さくなる場合は何通りあるか。

(2) 1個のさいころを2回投げるとき、目の和が10以上になる場合は何通りあるか。

(3) $(a+b-c)(d+e+f-g)$ を展開すると、項は何個できるか。

(4) 10人の部員の中から、兼任を認めないで、部長、副部長、会計、書記を各1人選ぶとき、選び方は何通りあるか。

(5) 8人が輪の形に並ぶとき、並び方は何通りあるか。

(6) 4人が1回じゃんけんをするとき、手の出し方は何通りあるか。

(7) 144の正の約数の総和を求めなさい。

(8) 12枚の異なるカードの中から10枚選ぶ選び方は何通りあるか。

(9) ぶどう、もも、みかん、なしの4種類の果物の中から5個の果物を買うとき、何通りの買い方があるか。ただし、含まれない果物があってもよい。

(10) KOYOKOKOの8文字をすべて使って文字列を作るとき、文字列は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 大中小のさいころの目をそれぞれ $x$, $y$, $z$ とすると、$6 \ge x > y > z \ge 1$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求める。これは、1から6までの6個の整数から異なる3個の整数を選ぶ組み合わせの数に等しい。

したがって、求める場合の数は $\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。

(2) 1個のさいころを2回投げたときの目の和が10以上になる場合を考える。1回目と2回目の目をそれぞれ $x$, $y$ とすると、$x+y \ge 10$ である。

$x+y = 10$ となるのは $(x, y) = (4, 6), (5, 5), (6, 4)$ の3通り。

$x+y = 11$ となるのは $(x, y) = (5, 6), (6, 5)$ の2通り。

$x+y = 12$ となるのは $(x, y) = (6, 6)$ の1通り。

したがって、合計で $3 + 2 + 1 = 6$ 通り。

(3) $(a+b-c)(d+e+f-g)$ を展開すると、各項は $a, b, -c$ のいずれか1つと $d, e, f, -g$ のいずれか1つを選んで掛け合わせたものとなる。

$a, b, -c$ の選び方は3通り、$d, e, f, -g$ の選び方は4通りであるから、項の数は $3 \times 4 = 12$ 個。

(4) 10人の中から部長、副部長、会計、書記を選ぶ場合の数を求める。

まず、部長の選び方は10通り。

次に、残りの9人から副部長を選ぶので9通り。

さらに、残りの8人から会計を選ぶので8通り。

最後に、残りの7人から書記を選ぶので7通り。

したがって、選び方は $10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$ 通り。

(5) 8人が輪の形に並ぶときの並び方を求める。円順列であるから、$(8-1)! = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$ 通り。

(6) 4人が1回じゃんけんをするときの手の出し方を求める。各人がグー、チョキ、パーのいずれかを出すので、各人の手の出し方は3通り。したがって、手の出し方は $3^4 = 81$ 通り。

(7) 144の正の約数の総和を求める。まず、144を素因数分解すると $144 = 2^4 \times 3^2$ である。

正の約数の総和は $(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4)(1 + 3 + 3^2) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16)(1 + 3 + 9) = 31 \times 13 = 403$。

(8) 12枚の異なるカードの中から10枚を選ぶ選び方を求める。これは、12枚から2枚を選ばない選び方と同じである。

したがって、$\binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$ 通り。

(9) ぶどう、もも、みかん、なしの4種類の果物の中から5個の果物を買う場合の数を求める。これは重複組み合わせの問題である。4種類から5個を選ぶ重複組み合わせの数は、$\binom{4+5-1}{5} = \binom{8}{5} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り。

(10) KOYOKOKOの8文字をすべて使って文字列を作る場合の数を求める。8文字のうち、Kが3個、Oが3個、Yが1個、残りの文字が1個である。

したがって、$\frac{8!}{3!3!1!1!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{6} = 8 \times 7 \times 5 \times 4 = 56 \times 20 = 1120$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 20通り

(2) 6通り

(3) 12個

(4) 5040通り

(5) 5040通り

(6) 81通り

(7) 403

(8) 66通り

(9) 56通り

(10) 1120通り