2次関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ の $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ の $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4x + 1 = -(x^2 - 4x) + 1 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1 = -(x - 2)^2 + 4 + 1 = -(x - 2)^2 + 5$

したがって、2次関数は $y = -(x - 2)^2 + 5$ と表せます。

これは、頂点が $(2, 5)$ で、上に凸な放物線です。

次に、定義域 $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を調べます。

頂点の $x$ 座標は $x=2$ であり、$0 \le x \le 3$ の範囲に含まれています。したがって、$x = 2$ で最大値をとります。最大値は $y = -(2 - 2)^2 + 5 = 5$ です。

次に、定義域の両端の値を調べます。

$x = 0$ のとき、$y = -0^2 + 4(0) + 1 = 1$

$x = 3$ のとき、$y = -3^2 + 4(3) + 1 = -9 + 12 + 1 = 4$

したがって、最小値は $x=0$ のときの $y=1$ です。

最大値は $x=2$ のときの $y=5$ です。

3. 最終的な答え

最大値：5

最小値：1