与えられた2つの条件pとqに対して、命題 $p \Rightarrow q$ の真偽を、集合を用いて調べる問題です。 (1) $p: x \leq 2$, $q: x \leq 4$ (xは実数) (2) $p: m$ は12の正の約数, $q: m$ は18の正の約数 (mは自然数)

1. 問題の内容

与えられた2つの条件pとqに対して、命題 $p \Rightarrow q$ の真偽を、集合を用いて調べる問題です。

(1) $p: x \leq 2$, $q: x \leq 4$ (xは実数)

(2) $p: m$ は12の正の約数, $q: m$ は18の正の約数 (mは自然数)

2. 解き方の手順

(1)

$p: x \leq 2$を満たす実数xの集合をP、$q: x \leq 4$を満たす実数xの集合をQとします。

実数全体を数直線で考えると、Pは数直線上で2以下の部分全体、Qは4以下の部分全体です。

明らかに $P \subset Q$ が成立します。

したがって、命題 $p \Rightarrow q$ は真です。

(2)

$p: m$ は12の正の約数 を満たす自然数mの集合をP、$q: m$ は18の正の約数 を満たす自然数mの集合をQとします。

P={1, 2, 3, 4, 6, 12}

Q={1, 2, 3, 6, 9, 18}

$P \subset Q$ が成立するかどうかを調べます。

4がPに含まれていますがQには含まれていません。

12がPに含まれていますがQには含まれていません。

したがって、$P \subset Q$ は成立しません。

したがって、命題 $p \Rightarrow q$ は偽です。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽