問題文には3つの命題とその真偽を判断するよう指示があります。 (4) $n$ は3の倍数 $\implies$ $n$ は9の倍数 (5) $m+n$ は偶数 $\implies$ $m, n$ の少なくとも一方は偶数 (6) 積 $mn$ は奇数 $\implies$ $m, n$ はともに奇数

1. 問題の内容

問題文には3つの命題とその真偽を判断するよう指示があります。

(4) $n$ は3の倍数 $\implies$ $n$ は9の倍数

(5) $m+n$ は偶数 $\implies$ $m, n$ の少なくとも一方は偶数

(6) 積 $mn$ は奇数 $\implies$ $m, n$ はともに奇数

2. 解き方の手順

(4) $n$ は3の倍数 $\implies$ $n$ は9の倍数

3の倍数であっても9の倍数でない例（例えば $n=6$）があるので、この命題は偽です。

(5) $m+n$ は偶数 $\implies$ $m, n$ の少なくとも一方は偶数

$m$ と $n$ が共に奇数の場合、$m+n$ は偶数になります。したがって、この命題は真です。

または、

$m+n$ が偶数であるとき、$m+n = 2k$ ($k$ は整数)と表せます。

$m$と$n$ がともに奇数だと仮定すると、$m = 2a+1$, $n=2b+1$ ($a, b$ は整数) と表せます。

このとき、$m+n = (2a+1)+(2b+1) = 2a+2b+2 = 2(a+b+1)$となり、偶数になります。

$m$が奇数、$n$が偶数だとすると、$m = 2a+1$, $n = 2b$となり、

$m+n = 2a+1+2b = 2(a+b)+1$となり、奇数になります。

$m$が偶数、$n$が奇数だとすると、$m = 2a$, $n = 2b+1$となり、

$m+n = 2a+2b+1 = 2(a+b)+1$となり、奇数になります。

$m$と$n$ がともに偶数だと仮定すると、$m = 2a$, $n=2b$ ($a, b$ は整数) と表せます。

このとき、$m+n = 2a+2b = 2(a+b)$となり、偶数になります。

したがって、$m+n$ が偶数ならば、$m$と$n$ がともに偶数か、ともに奇数です。

命題は、「$m+n$ が偶数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は偶数」なので真となります。

(6) 積 $mn$ は奇数 $\implies$ $m, n$ はともに奇数

積 $mn$ が奇数であるとき、$m$ と $n$ の少なくとも一方が偶数であると仮定すると、$mn$ は偶数になります。したがって、$m, n$ はともに奇数でなければなりません。

よってこの命題は真です。

3. 最終的な答え

(4) 偽

(5) 真

(6) 真