与えられた2つの命題について、それぞれの否定を述べ、もとの命題とその否定の真偽を判定する。 (1) すべての実数 $x$ について $(x-1)^2 \neq 0$ (2) ある自然数 $n$ について $n^2 = 5n$

1. 問題の内容

与えられた2つの命題について、それぞれの否定を述べ、もとの命題とその否定の真偽を判定する。

(1) すべての実数 $x$ について $(x-1)^2 \neq 0$

(2) ある自然数 $n$ について $n^2 = 5n$

2. 解き方の手順

(1) の場合

* **否定**: 「すべての」の否定は「ある」なので、「ある実数 $x$ について $(x-1)^2 = 0$」となる。

* **もとの命題の真偽**: $(x-1)^2 \neq 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つわけではない。例えば、$x=1$ のとき $(1-1)^2 = 0$ となり、$(x-1)^2 \neq 0$ は成り立たない。したがって、もとの命題は偽である。

* **否定の真偽**: ある実数 $x$ について $(x-1)^2 = 0$ が成り立つかどうかを考える。$x=1$ のとき $(1-1)^2 = 0$ となり、成り立つ。したがって、否定は真である。

(2) の場合

* **否定**: 「ある」の否定は「すべての」なので、「すべての自然数 $n$ について $n^2 \neq 5n$」となる。

* **もとの命題の真偽**: ある自然数 $n$ について $n^2 = 5n$ が成り立つかどうかを考える。$n=5$ のとき $5^2 = 25 = 5 \times 5$ となり、成り立つ。したがって、もとの命題は真である。

* **否定の真偽**: すべての自然数 $n$ について $n^2 \neq 5n$ が成り立つかどうかを考える。$n=5$ のとき $5^2 = 5 \times 5$ なので、$n^2 = 5n$ となり、$n^2 \neq 5n$ は成り立たない。したがって、否定は偽である。

3. 最終的な答え

(1)

* 否定: ある実数 $x$ について $(x-1)^2 = 0$

* もとの命題: 偽

* 否定: 真

(2)

* 否定: すべての自然数 $n$ について $n^2 \neq 5n$

* もとの命題: 真

* 否定: 偽