与えられた3つの命題の真偽を判定し、真である場合は証明を、偽である場合は反例を挙げる。 (4) $n$ は 3 の倍数 $\implies$ $n$ は 9 の倍数 (5) $m+n$ は偶数 $\implies$ $m, n$ の少なくとも一方は偶数 (6) 積 $mn$ は奇数 $\implies$ $m, n$ はともに奇数

1. 問題の内容

与えられた3つの命題の真偽を判定し、真である場合は証明を、偽である場合は反例を挙げる。

(4) $n$ は 3 の倍数 $\implies$ $n$ は 9 の倍数

(5) $m+n$ は偶数 $\implies$ $m, n$ の少なくとも一方は偶数

(6) 積 $mn$ は奇数 $\implies$ $m, n$ はともに奇数

2. 解き方の手順

(4)

* この命題は偽である。

* 反例：$n = 6$ は 3 の倍数であるが、9 の倍数ではない。

(5)

* この命題は真である。

* 証明：$m, n$ がともに奇数であると仮定する。

すると、$m = 2k+1$、$n = 2l+1$ （$k, l$ は整数）と表せる。

このとき、$m+n = (2k+1) + (2l+1) = 2k + 2l + 2 = 2(k+l+1)$ となり、$m+n$ は偶数となる。

$m,n$がともに奇数の時、$m+n$ は偶数なので、背理法により、$m+n$ が偶数 $\implies$ $m, n$ の少なくとも一方は偶数。

(6)

* この命題は真である。

* 証明：$m$ または $n$ が偶数であると仮定する。

$m = 2k$ とすると、$mn = 2kn$ となり、$mn$ は偶数である。

$n = 2l$ とすると、$mn = 2ml$ となり、$mn$ は偶数である。

したがって、$mn$ が奇数ならば、$m$ と $n$ はともに奇数である。

3. 最終的な答え

(4) 偽

(5) 真

(6) 真