xは実数、nは整数とします。次の命題の真偽を調べます。 (1) $x^2 = x \implies x=1$ (2) $n$ が4の倍数 $\implies n^2$ が8の倍数 (3) $-7 < x < 0 \implies x < 3$ (4) $|n| < 1 \implies n = 0$

1. 問題の内容

xは実数、nは整数とします。次の命題の真偽を調べます。

(1) $x^2 = x \implies x=1$

(2) $n$ が4の倍数 $\implies n^2$ が8の倍数

(3) $-7 < x < 0 \implies x < 3$

(4) $|n| < 1 \implies n = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 = x$ を満たす $x$ は $x^2 - x = 0$ より、$x(x-1) = 0$。したがって $x = 0, 1$。

$x = 0$ のとき、$x=1$ は成り立たないので偽。

(2) $n$ が4の倍数のとき、$n = 4k$ （$k$ は整数）と表せる。

このとき、$n^2 = (4k)^2 = 16k^2 = 8(2k^2)$ となり、$n^2$ は8の倍数である。したがって真。

(3) $-7 < x < 0$ を満たす $x$ は $x < 0$ なので、$x < 3$ を満たす。したがって真。

　ただし画像では偽と判断されています。

(4) $|n| < 1$ を満たす整数 $n$ は、$n = -1, 0, 1$。

しかし、$|n| < 1$ は $-1 < n < 1$ を意味するため、$n$ が整数の場合、$n = 0$ のみが条件を満たす。

　よって、真。

ただし画像では偽と判断されています。

3. 最終的な答え

(1) 偽

(2) 真

(3) 真

(4) 真